已知平面上动点 P 到点 F(3,0) 的距离与到直线 x=433 的距离之比为 32 ，记动点 P 的轨迹为曲线 E .

题型：解答题题类：模拟题难易度：困难

山东省潍坊市2018届高三第二次高考理数模拟考试卷

已知平面上动点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离与到直线 $\text{[math]}$ 的距离之比为 $\text{[math]}$ ，记动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .

（1）、求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）、设 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上的动点，直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ .

①设直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于不同两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②求与动直线 $\text{[math]}$ 恒相切的定椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；并探究：若 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上的动点，是否存在直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 恒相切的定曲线 $\text{[math]}$ ？若存在，直接写出曲线 $\text{[math]}$ 的方程；若不存在，说明理由.

举一反三

过点（0，4），斜率为﹣1的直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4 $\text{[math]}$ ．

（1）求p的值；

（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．

已知直线l与椭圆 $\text{[math]}$ 交于两点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ =（ax₁ ， by₁）， $\text{[math]}$ =（ax₂ ， by₂），且 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

若动点 $\text{[math]}$ 与两定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的连线的斜率之积为常数 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹一定不可能是（）

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，原点到过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直线的距离是 $\text{[math]}$ .

众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：

①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与黑色阴影部分有公共点；③当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（）

椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ .

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