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题型：解答题题类：常考题难易度：困难

广东省中山市2017-2018学年高二上学期理数期末考试试卷

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点与上顶点分别为 $\text{[math]}$ ，椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ .

（1）、求椭圆的标准方程；

（2）、如图，若直线 $\text{[math]}$ 与该椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 的斜率互为相反数.

①求证：直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值；

②若点 $\text{[math]}$ 在第一象限，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

举一反三

如果椭圆 $\text{[math]}$ =1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）

已知椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的一个焦点与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点相同，F₁ ， F₂为椭圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点，△MF₁F₂面积的最大值为4 $\text{[math]}$ ．

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率e= $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为F₁、F₂ ， A是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C与F₁A的延长线，F₁F₂的延长线以及线段AF₂都相切，M（2，0）为一个切点．

已知圆A：x²+y²+2x﹣15=0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

设 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和椭圆 $\text{[math]}$ 上的点，则 $\text{[math]}$ 两点间的最大距离是{#blank#}1{#/blank#}.

某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 $\text{[math]}$ 为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为 $\text{[math]}$ 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽 $\text{[math]}$ 至少应是{#blank#}1{#/blank#}米．

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