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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测数学试卷

已知 $\text{[math]}$ 为正整数，集合 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 依次构成公比为 $\text{[math]}$ 的正项等比数列.

集合 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的非空子集.若 $\text{[math]}$ 中只有一个元素或 $\text{[math]}$ 中任意两个元素 $\text{[math]}$ 都满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ -分离子集”.记数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的正零点.

（1）、写出 $\text{[math]}$ 的所有2-分离子集；

（2）、记 $\text{[math]}$ 的“1-分离子集”的数量为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

（3）、在 $\text{[math]}$ 中的所有非空子集中等概率地选取一个子集 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ -分离子集”的概率大于 $\text{[math]}$ .

举一反三

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²﹣x+2．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．

（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；

（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+ $\text{[math]}$ （0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀ ， y₀）处切线的斜率k≤ $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值．

设 $\text{[math]}$ ，已知0＜a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＜0，若x₀是函数f（x）的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（）

已知函数f（x）=2x+a，g（x）=lnx﹣2x，如果对任意的 $\text{[math]}$ ，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}．

已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

已知当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 取得最大值2，则 $\text{[math]}$ （）

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