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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省广州市天河中学2024-2025学年高三上学期综合模拟测试（一）数学试卷

在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 $\text{[math]}$ 表示，其中 $\text{[math]}$ ，而在 $\text{[math]}$ 维空间中 $\text{[math]}$ ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 $\text{[math]}$ 维坐标 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．现有如下定义：在 $\text{[math]}$ 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 坐标差的绝对值之和，即为 $\text{[math]}$ ．回答下列问题：

（1）、求出 $\text{[math]}$ 维“立方体”的顶点数；

（2）、在 $\text{[math]}$ 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量 $\text{[math]}$ 为所取两点间的曼哈顿距离．

①求 $\text{[math]}$ 的分布列与期望；

②求 $\text{[math]}$ 的方差．

举一反三

签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个．则X的均值为（　　）

在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 $\text{[math]}$ ．

某校开展“读好书，好读书”活动，要求本学期每人至少读一本课外书，该校高一共有100名学生，他们本学期读课外书的本数统计如图所示．

（Ⅰ）求高一学生读课外书的人均本数；

（Ⅱ）从高一学生中任意选两名学生，求他们读课外书的本数恰好相等的概率；

（Ⅲ）从高一学生中任选两名学生，用ζ表示这两人读课外书的本数之差的绝对值，求随机变量ζ的分布列及数学期望E．

2016年里约奥运会在巴西里约举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答．知识问答有A，B，C，D四个题目，答题者必须按A，B，C，D顺序依次进行，答对A，B，C，D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减．答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用．假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A，B，C，D四个题回答正确的概率依次是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

设随机变量X的分布列为

X	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	a

则a={#blank#}1{#/blank#}；E（X）={#blank#}2{#/blank#}．

设随机变量的分布列为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为常数，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}.

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