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题型：解答题题类：难易度：困难

浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

如图①所示，长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到图②的四棱锥 $\text{[math]}$ ．

（1）、求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的最大值；

（2）、若棱 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）、设 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 夹角余弦值的最小值．

举一反三

已知： $\text{[math]}$ =（x，4，1）， $\text{[math]}$ =（﹣2，y，﹣1）， $\text{[math]}$ =（3，﹣2，z）， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，求：

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）与（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）所成角的余弦值．

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= $\text{[math]}$ ，连接CE并延长交AD于F

如图，在正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=BC=1，动点P、Q分别在线段C₁D、AC上，则线段PQ长度的最小值时（）

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点，且异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ .

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点.

（Ⅰ）求证 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．

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