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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省汕头市潮阳区棉城中学2024-2025学年高三上学期期前考试数学试题

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长轴是圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的直径.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ 作两条相互垂直的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 交圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值.

举一反三

已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点和顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）

过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆x²+2y²=4交于P₁ ， P₂两点，设线段P₁P₂的中点为P．若直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂ ，则k₁k₂等于（）

已知椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点M（4，1）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠﹣3）与椭圆C交于P，Q两点，记直线MP，MQ的斜率分别为k₁ ， k₂ ，试探究k₁+k₂是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的下焦点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 点的坐标为 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 的最大时点 $\text{[math]}$ 的坐标为{#blank#}1{#/blank#}.

过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，如果 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，且点 $\text{[math]}$ 到焦点 $\text{[math]}$ 的距离为4，过 $\text{[math]}$ 作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ （斜率不为0），切点为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（Ⅱ）求证：以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过点 $\text{[math]}$ .

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