- 二一组卷

题型：解答题题类：模拟题难易度：普通

陕西省西安市长安区2021届高三下学期理数二模试卷

已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，记动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．

（1）、求 $\text{[math]}$ 的方程，并说明 $\text{[math]}$ 是什么曲线．

（2）、曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上的一点（点 $\text{[math]}$ 不在坐标轴上），若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为等腰三角形．

举一反三

已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0），直线y=x+ $\text{[math]}$ 与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，F₁ ， F₂为其左右焦点，P为椭圆C上的任意一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂ ．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；

（Ⅱ）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k₁ ， k₂

①求证：k₁•k₂为定值；

②求△CEF的面积的最小值．

对于椭圆 $\text{[math]}$ ，有如下性质：若点 $\text{[math]}$ 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为 $\text{[math]}$ .利用此结论解答下列问题.

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（Ⅱ）若动点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相切，切点分别为 $\text{[math]}$ .求证直线 $\text{[math]}$ 必经过一定点.