若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．

题型：解答题题类：常考题难易度：普通

抽象函数及其应用+++3

若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x₀ ，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x₀不存在，则称函数f（x）不具有性质M．

（1）、证明：函数f（x）=3^x具有性质M，并求出对应的x₀的值；

（2）、已知函数h（x）=lg $\text{[math]}$ 具有性质M，求a的取值范围．

举一反三

已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是( )

已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y= $\text{[math]}$ 与y=f（x）图象的交点为（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（x_m ， y_m），则 $\text{[math]}$ （x_i+y_i）=（）

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．

已知函数y=f（x）满足：对任意x，y∈R，有f（x﹣y）=f（x）﹣f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．

定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足： $\text{[math]}$ ，当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，且 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，则实数m与﹣1的大小关系为（）

若定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，其图象是连续不断的，且存在常数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 对任意的实数 $\text{[math]}$ 都成立，则称 $\text{[math]}$ 是一个“ $\text{[math]}$ 特征函数”则下列结论中正确的个数为（）．

① $\text{[math]}$ 是常数函数中唯一的“ $\text{[math]}$ 特征函数”；② $\text{[math]}$ 不是“ $\text{[math]}$ 特征函数”；③“ $\text{[math]}$ 特征函数”至少有一个零点；④ $\text{[math]}$ 是一个“ $\text{[math]}$ 特征函数”；．

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