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题型：填空题题类：常考题难易度：普通

2015-2016学年广东省湛江一中高二上学期期末数学试卷（理科）

请阅读下列材料：若两个正实数a₁ ， a₂满足a₁²+a₂²=1，那么a₁+a₂ $\text{[math]}$ ．证明：构造函数f（x）=（x﹣a₁）²+（x﹣a₂）²=2x²﹣2（a₁+a₂）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a₁+a₂）²﹣8≤0，所以a₁+a₂ $\text{[math]}$ ．根据上述证明方法，若n个正实数满足a₁²+a₂²+…+a_n²=1时，你能得到的结论为．

举一反三

我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 $\text{[math]}$ a，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（　　）

阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③

令α+β=A，α﹣β=B 有α= $\text{[math]}$ ，β= $\text{[math]}$

代入③得 sinA+sinB=2sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ．

类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：

cosA﹣cosB=﹣2sin $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ ．

先观察不等式（a $\text{[math]}$ +a $\text{[math]}$ ）（b $\text{[math]}$ +b $\text{[math]}$ ）≥（a₁b₁+a₂b₂）²（a₁、a₂、b₁、b₂∈R）的证明过程：设平面向量 $\text{[math]}$ =（a₁ ， b₁）， $\text{[math]}$ =（a₂ ， b₂），则| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =a₁a₂+b₁b₂ ．

∵| $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ |≤| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |，

∴|a₁a₂+b₁b₂|≤ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，

∴（a₁a₂+b₁b₂）²≤（a $\text{[math]}$ +b $\text{[math]}$ ）（a $\text{[math]}$ +b $\text{[math]}$ ），

再类比证明：（a $\text{[math]}$ +b $\text{[math]}$ +c $\text{[math]}$ ）（a $\text{[math]}$ +b $\text{[math]}$ +c $\text{[math]}$ ）≥（a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂）² ．

老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃 $\text{[math]}$ ，梅花 $\text{[math]}$ ，方片 $\text{[math]}$ 以及黑桃 $\text{[math]}$ ，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：

小明说：第1个盒子里面放的是梅花 $\text{[math]}$ ，第3个盒子里面放的是方片 $\text{[math]}$ ；

小红说：第2个盒子里面饭的是梅花 $\text{[math]}$ ，第3个盒子里放的是黑桃 $\text{[math]}$ ；

小张说：第4个盒子里面放的是黑桃 $\text{[math]}$ ，第2个盒子里面放的是方片 $\text{[math]}$ ；

小李说：第4个盒子里面放的是红桃 $\text{[math]}$ ，第3个盒子里面放的是方片 $\text{[math]}$ ；

老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．”则可以推测，第4个盒子里装的是（）

《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得决自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

则按照以上规律，若 $\text{[math]}$ 具有“穿墙术”，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

已知 $\text{[math]}$ 的三边长分别为 $\text{[math]}$ ，其面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ ．这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”．由平面类比到空间，设空间四面体 $\text{[math]}$ 的各表面面积分别为 $\text{[math]}$ ，其体积为 $\text{[math]}$ ，四面体 $\text{[math]}$ 的内切球半径为r ，试猜测对空间四面体 $\text{[math]}$ 存在什么类似结论？并加以证明．

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