- 二一组卷

题型：解答题题类：常考题难易度：普通

河南省2020届高三普通高等学校招生理数模拟考试试卷

2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为 $\text{[math]}$ ，某位患者在隔离之前，每天有 $\text{[math]}$ 位密切接触者，其中被感染的人数为 $\text{[math]}$ ，假设每位密切接触者不再接触其他患者.

（1）、求一天内被感染人数为 $\text{[math]}$ 的概率 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的关系式和 $\text{[math]}$ 的数学期望；

（2）、该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第 $\text{[math]}$ 天新增患者的数学期望记为 $\text{[math]}$ .

（i）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，并证明数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最大值时，计算此时 $\text{[math]}$ 所对应的 $\text{[math]}$ 值和此时 $\text{[math]}$ 对应的 $\text{[math]}$ 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取 $\text{[math]}$ ）