浙教版数学八年级暑假知识训练：韦达定理

1. 若一元二次方程x²-4x-3=0的两个根分别是 m，n，则下列说法中，正确的是（）

A . m+n=-4， mn=3 B . m+n= -4， mn=-3 C . m+n=4， mn=3 D . m+n=4， mn=-3

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2. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2025 B . 2023 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若关于x的方程 $\text{[math]}$ 的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 小明发现一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根表示在数轴上关于点 $\text{[math]}$ 对称．若关于x的方程 $\text{[math]}$ 的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知一元二次方程 $\text{[math]}$ （a≠0，x₁≠x₂）与一元一次方程 $\text{[math]}$ 有一个公共解x=x₁ ，若一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 方程 $\text{[math]}$ 的两根分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 的两根为（）

A . 0， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， 1 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， 3

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7. 若方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣ $\text{[math]}$ ， 5，则方程 $\text{[math]}$ a（x﹣1）²+bx＝b﹣2c的两根为（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ ， 6 B . ﹣3，10 C . ﹣2，11 D . ﹣5，21

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8. 已知两个关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．下列结论错误的是（）

A . 若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B . 若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 C . 若5是方程M的一个根，则 $\text{[math]}$ 是方程N的一个根 D . 若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是 $\text{[math]}$

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9. 对于一元二次方程 $\text{[math]}$ ，下列说法：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
②若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实根，则方程 $\text{[math]}$ 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则一定有 $\text{[math]}$ 成立；
④若 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根，则 $\text{[math]}$ .
其中正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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10. 一元二次方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，给出以下四个结论：(1)若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，则方程 $\text{[math]}$ 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 $\text{[math]}$ 的两根符号相同，则方程 $\text{[math]}$ 的两根符号也相同；(3)若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根；(4)若方程 $\text{[math]}$ 和方程 $\text{[math]}$ 有一个相同的根，则这个根必是 $\text{[math]}$ .其中正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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11. 若方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）的一个解是 $\text{[math]}$ ，则另一个解 $\text{[math]}$ .

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12. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根分别为m、n，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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14. 如果关于x的一元二次方程2x²+5x+m=0的两实数根互为倒数，则m的值为.

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15. 写一个一元二次方程，它的二次项系数为1，两个根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；．

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16. 若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有实数根 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，有下列结论：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ．其中正确结论是．

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17. 若 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根，求下列代数式的值.

（1） $\text{[math]}$ .

（2） $\text{[math]}$ .

（3） $\text{[math]}$ .

（4） $\text{[math]}$ .

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18. 已知关于x的一元二次方程x²﹣（2m+1）x+m²+m＝0．

（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

（2）设该方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ．
①求代数式； $\text{[math]}$ 的最大值；
②若方程的一个根是6，x₁和x₂是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根 m，n.

（1）求t的取值范围.

（2）当t=3时，解这个方程.

（3）若m，n是方程的两个实数根，设Q=(m-2)(n-2)，试求Q的最小值.

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20. 设实数 $\text{[math]}$ 分别满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 并且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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21. 阅读材料：
材料1：若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
材料2：已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为m，n，求 $\text{[math]}$ 的值.
解： $\text{[math]}$ 一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为m，n，
$\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）材料理解：一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（2）类比应用：已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根分别为m、n，求 $\text{[math]}$ 的值.

（3）思维拓展：已知实数s、t满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

（4）思维拔高：若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，相应的一元二次方程的两个根分别记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .(直接写出答案)

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22. 定义，若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），分别以 $\text{[math]}$ 为横坐标和纵坐标得到点 $\text{[math]}$ ，则称点M为该一元二次方程的的衍生点.

（1）若方程为 $\text{[math]}$ ，写出该方程的的衍生点M的坐标.

（2）若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.

（3）是否存在b，c，使得不论k（ $\text{[math]}$ ）为何值，关于x的方程 $\text{[math]}$ 的衍生点M始终在直线 $\text{[math]}$ 的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由.

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23. 阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”.

【材料二】若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根分别为 $\text{[math]}$ ，则有： $\text{[math]}$ .

问题解决：

（1）实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；

（2）若 $\text{[math]}$ 三点均在函数 $\text{[math]}$ （k为常数且 $\text{[math]}$ ）的图象上，且这三点的纵坐标 $\text{[math]}$ 构成“友好数”，求实数t的值；

（3）设三个实数 $\text{[math]}$ 是“友好数”且满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的一个交点的横坐标.
① $\text{[math]}$ 的值等于；

②设 $\text{[math]}$ ，求y关于x的函数关系式.

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浙教版数学八年级暑假知识训练：韦达定理

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分，共24分）

三、解答题（共4题，共35分）

四、实践探究题（共3题，共31分）

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二、填空题（每题4分，共24分）

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