2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破9 平行四边形的动点问题

1. 如图，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是底边 $\text{[math]}$ 上的一动点（不与点 $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 的平行线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则下列数量关系一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，直线 $\text{[math]}$ ，它们间的距离为2，在直线 $\text{[math]}$ 下方有一定点 $\text{[math]}$ ，到 $\text{[math]}$ 的距离为1，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的动点，平面内一点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 三点构成 $\text{[math]}$ ，则对角线 $\text{[math]}$ 长度的最小值是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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3. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的差为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DE $\text{[math]}$ AC交AB于点E，DF $\text{[math]}$ AB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（）

A . 不变 B . 一直增大 C . 先增大后减小 D . 先减小后增大

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5. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一动点，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边构造平行四边形 $\text{[math]}$ ，则使对角线 $\text{[math]}$ 值最小的点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　）

A . 1 B . $\text{[math]}$ 1 C . $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

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7. 如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（）

A . 6 B . 8 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，等边 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ，点E从点A出发沿射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度运动，点F从点B出发沿射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ ，当t=（）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

A . 1或2 B . 2或3 C . 2或4 D . 2或6

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9. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 从点A出发，以 $\text{[math]}$ 的速度向点D运动；点 $\text{[math]}$ 从点C同时出发，以 $\text{[math]}$ 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，下列结论错误的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 的最大面积为 $\text{[math]}$

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10. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点D 的纵坐标是6，CD=10，顶点A在y轴上，边 BC 在x轴上.设 P 是射线 BC上的一个动点，则当△ABP 为等腰三角形时，点P的坐标是.

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11. 如图，在▱ABCD中，AD＝3cm，动点P以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动，另一动点Q以每秒1cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为
秒．

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12. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若D ， E是边 $\text{[math]}$ 上的两个动点，F是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. 如图，在▱ $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平分线的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为．

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15. 如图，▱ $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动点Q在CB边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？

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17. 如图，点B是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的定点，点C是边 $\text{[math]}$ 上的动点，将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，且点A的对应点D恰好落在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．点F是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，且点F到 $\text{[math]}$ 的距离等于点F到 $\text{[math]}$ 的距离．当 $\text{[math]}$ 时．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

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18. 如图，AM是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ 是线段AM上一点（不与点A重合），DE//AB，交AC于点 $\text{[math]}$ ，交DF于点 $\text{[math]}$ ，连结AE.

（1）如图①，当点D与点M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形.

（2）如图②，当点D不与点M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.

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19. 如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P从点A 出发向点D 以1cm/s的速度运动，到点 D 即停止.点Q从点C 出发向点 B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)..

（1）用含 t的代数式表示：
AP=cm，DP=cm，
BQ=cm，CQ=cm

（2）当t为何值时，四边形APQB 是平行四边形?

（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?

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20. 如图，M，N是▱ABCD对角线BD上两点.

（1）若 BM=MN=DN，求证：四边形 AMCN 为平行四边形.

（2）若 M，N 为对角线 BD 上的动点(均可与端点重合)，设 BD=12cm，点M由点B 向点D 匀速运动，速度为 2cm/s，同时点N由点D 向点B匀速运动，速度为 a(cm/s)，运动时间为 t(s).若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的.取值范围.

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21. 如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 上一动点，E为 $\text{[math]}$ 延长线上的动点，始终保持 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）请判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

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22. 如图①，在平行四边形ABCD中， AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度从点A向终点D ．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．

（1）线段PD的长为（用含t的代数式表示）．

（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．

（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．

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23. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，同时点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 速度沿射线 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 到达终点时，点 $\text{[math]}$ 也随之停止运动，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．
（备用图）（备用图）

（1） $\text{[math]}$ 的长为cm．

（2）当 $\text{[math]}$ 时，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长．

（3）连结 $\text{[math]}$ ．是否存在 $\text{[math]}$ 的值，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相平分？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

（4）若点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的点恰好落在直线 $\text{[math]}$ 上，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与坐标轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒1个单位的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，同时动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒2个单位的速度沿射线 $\text{[math]}$ 方向运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 也停止运动 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边构造▱ $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标为．

（2）如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 证明： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ．

（3）如图3，连结 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 的边所在的直线上时，求所有满足要求的 $\text{[math]}$ 的值．

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2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破9 平行四边形的动点问题

一、选择题（每题3分，共27分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共75分）

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2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破9 平行四边形的动点问题

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