解：四边形ABDF是平行四边形，理由如下：

如图，延长 $B D$ 交 $A E$ 于点M，

∵四边形 $A E G F$ 是正方形，

∴ $A E = A F ， ∠ E A F = 90 °$ ，

在 $△ B C D$ 和 $△ A C E$ 中，

${\begin{array}{l} B C = A C \\ ∠ B C D = ∠ A C E = 90 ° \\ C D = C E \end{array}$

∴ $△ B C D ≌ △ A C E (S A S)$ ，

∴ $B D = A E = A F ， ∠ C A E = ∠ C B D$ ，

∵ $∠ E + ∠ C A E = 90 °$ ，

∴ $∠ E + ∠ C B D = 90 °$ ，

∴ $∠ A M B = 90 ° = ∠ F A E$ ，

∴ $A F ∥ B D$ ；

又∵ $B D = A F$ ，

∴四边形 $A B D F$ 是平行四边形；

2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破9 平行四边形的动点问题