2024年中考数学热点探究十一与圆有关的辅助线

1. 如图，AB、BC为 $\text{[math]}$ 的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . 100° B . 118° C . 124° D . 130°

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2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°，若AD=2，则AB的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 2 $\text{[math]}$ D . 4

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3. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且 $\text{[math]}$ ， ∠E＝70°，则∠ABC的度数为（）

A . 30° B . 40° C . 35° D . 50°

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4. 如图，正六边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ 为切点， $\text{[math]}$ 的延长线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别切 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图， $\text{[math]}$ 半径长 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 三等分点，点 $\text{[math]}$ 为圆上一点，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，在△ABC中，AB+AC＝ $\text{[math]}$ BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（）

A . 9.6 B . 4 $\text{[math]}$ C . 5 $\text{[math]}$ D . 10

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10. 如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的八等分点．若 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的周长分别为a，b，则下列正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . a，b大小无法比较

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11. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．

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12. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆，其半径为4．过点B作 $\text{[math]}$ 于点E ，点P为线段 $\text{[math]}$ 上一动点（点P不与B ， E重合），则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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15. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连结AD，BE交于点P．连接CP，若CP⊥AP时，则AE：CE= ；设△ABC的面积为S₁ ，四边形CDPE的面积为S₂ ，则 $\text{[math]}$ ＝．

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16. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的两点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，过点 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证∶ $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径；

（3）在（2）的条件下，求出 $\text{[math]}$ 的面积．

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17. 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E ，且AD⊥DE于D ，与⊙O交于点F ．

（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；

（2）连接OF与AC交于点G ，当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．

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18. 如图，在⊙O中，AB是弦，过点O作OA⊥OC与AB交于点C ，在OC的延长线取点D ，使DC＝DB ．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若BC＝4， $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径长．

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19. 如图， $\text{[math]}$ 与等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直径，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

（2）连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线时，求 $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ 与等边 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

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20. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 于点E ，点F在 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 与点G ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图2， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N ，过点F作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 于点M ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．（用含a的代数式表示）

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等，求 $\text{[math]}$ 的值．

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21. 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.

（1）【概念理解】当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数.

（2）【性质探究】如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
求证： $\text{[math]}$ .

（3）【拓展应用】如图2，AB是⊙O的直径，且AB=13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形.
①当BC=5时，求AD的长.
②当△BCD是和美三角形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

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22. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究。
如图1，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在直线、 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）【初步感知】求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线；

（2）【深入研究】当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长。

（3）【拓展延伸】如图2，当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长。

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23. 定义：当点P在射线OA上时，把 $\text{[math]}$ 的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．
例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为 $\text{[math]}$ ．

（1）在△OAB中，
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．
其中真命题有 ▲ ．
$\text{[math]}$ ． ①② $\text{[math]}$ ． ①③ $\text{[math]}$ ． ②③ $\text{[math]}$ ． ①②③

（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．
①如图2，若点B在射线OA上的射影值为 $\text{[math]}$ ．求证：直线BC是⊙O的切线；
②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x ，点D在射线OB上的射影值为y ，直接写出y与x之间的函数关系式为．

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2024年中考数学热点探究十一与圆有关的辅助线

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分，共20分）

三、解答题（共5题，共42分）

四、实践探究题（共3题，共28分）

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2024年中考数学热点探究十一 与圆有关的辅助线

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分，共20分）

三、解答题（共5题，共42分）

四、实践探究题（共3题，共28分）

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