解：解法一：

解：过点 $O$ 作 $O M ⊥ A D$ 于点 $M$ ，

$∵ O M ⊥ A D$ ，

$∴ ∠ O M F = 90 °$ ，

$∵ ∠ A F E = ∠ O E F = ∠ O M F = 90 °$

$∴$ 四边形 $O M F E$ 是矩形，

$∴ O M = E F = 4, M F = O E$ ，

$∵ ∠ A E F + ∠ B E F = 90 °$ ，

$∠ B + ∠ B E F = 90 °$ ，

$∴ ∠ A E F = ∠ B$ ，

$∵ ∠ B F E = ∠ A F E = 90 °$ ，

$∴ △ B F E ∽ △ E F A$ ，

$∴ \frac{B F}{E F} = \frac{E F}{A F}, 即 \frac{B F}{4} = \frac{4}{2},$

解得 $B F = 8$ ，

设 $⊙ O$ 的半径为 $r$ ，则有 $M F = O E = O A = r, A M = r - 2$ ，

$∵ O M ⊥ A D$ ，

$∴ ∠ A M O = 90 °, A D = 2 A M$ ，在Rt $△ A M O$ 中， $∠ A M O = 90 °$ ，由勾股定理可得：

$A M^{2} + O M^{2} = A O^{2}$ ，即 $(r - 2)^{2} + 4^{2} = r^{2}$ ，解得 $r = 5$ ，

故 $A M = 5 - 2 = 3$ ，

$∴ A D = 2 A M = 2 \times 3 = 6$

故 $A D$ 的长为6．

解法二：

解： $∵ A C$ 为 $⊙ O$ 的直径，

$∴ A E ⊥ C B, ∠ A E C = 90 °$ ，

$∵ A B = A C, ∴ B E = C E$ ，

如图所示，连接 $C D$ ，

$∵ A F = 2, E F = 4, ∠ A F E = 90 °$ ，

由勾股定理可得：

$∴ A E = \sqrt{A F^{2} + E F^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5},$

$∵ O C = O E$ ，

$∴ ∠ O C E = ∠ O E C$ ，

$∵ ∠ A E F + ∠ A E O = 90 °, ∠ O E C + ∠ A E O = 90 °$ ，

$∴ ∠ A E F = ∠ O E C$ ，

$∴ ∠ O C E = ∠ A E F$ ，

$∵ ∠ A E C = ∠ A F E = 90 °$ ，

$∴ △ A E F ∽ △ A C E$ ，

$∴ \frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A E}$ ，即 $\frac{2 \sqrt{5}}{A C} = \frac{2}{2 \sqrt{5}}$ ，

解得 $A C = 10$ ，

$∵ A C$ 为 $⊙ O$ 的直径，

$∴ ∠ D = 90 °$ ，

$∴ ∠ B F E = ∠ D = 90 °$ ，

$∴ E F ∥ C D$

$∴ △ B E F ∽ △ B C D$ ，

$∵ C E = B E = \frac{1}{2} B C$ ，

$∴ \frac{E F}{C D} = \frac{B E}{C B} = \frac{1}{2}$ ，

$∴ C D = 2 E F = 8$ ，

$∴ A D = \sqrt{A C^{2} - B D^{2}} = \sqrt{1 0^{2} - 8^{2}} = 6$ 。

解法三：

解：如图所示，连接 $D E$ ，

$∵ \overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{A E},$

$∴ ∠ A D E = ∠ A C E$ ，

$∵ A B = A C$ ，

$∴ ∠ A B C = ∠ A C E$ ，

$∴ ∠ A D E = ∠ A B C$ ，

$∴ B E = D E$ ，

$∴ △ B E D$ 是等腰三角形，

$∵ E F ⊥ B D$ ，

$∴$ 点 $F$ 是 $B D$ 的中点，

$∴ B F = D F$ ，

$∵ ∠ A E F + ∠ B E F = 90 °$ ，

$∠ B + ∠ B E F = 90 °$ ，

$∴ ∠ A E F = ∠ B$

$∵ ∠ B F E = ∠ A F E = 90 °$ ，

$∴ △ B F E ∽ △ E F A$ ，

$∴ \frac{B F}{E F} = \frac{E F}{A F}$ ，即 $\frac{B F}{4} = \frac{4}{2}$

解得 $B F = 8$ ，

$∴ D F = 8$ ，

$∴ A D = D F - A F = 8 - 2 = 6,$

故 $A D$ 的长为6．

解法四：

解：如图所示，连接 $C D$ ，

$∵ A B = A C, A E ⊥ B C,$

$∴$ 点 $E$ 是 $B C$ 的中点，

$∴ \frac{B E}{B C} = \frac{1}{2},$

$∵ A C$ 为 $⊙ O$ 的直径，

$∴ ∠ A D C = 90 °$ ，

$∴ ∠ A D C = ∠ B F E = 90 °$ ，

$∵ ∠ B = ∠ B$ ，

$∴ △ B E F ∽ △ B C D$ ，

$∴ \frac{B F}{B D} = \frac{B E}{B C} = \frac{1}{2}$

$∴$ 点 $F$ 是 $B D$ 的中点，

$∴ B F = D F$ ，

$∵ ∠ A E F + ∠ B E F = 90 °$ ，

$∠ B + ∠ B E F = 90 °$ ，

$∴ ∠ A E F = ∠ B$ ，

$∵ ∠ B F E = ∠ A F E = 90 °$ ，

$∴ △ B F E ∽ △ E F A$ ，

$∴ \frac{B F}{E F} = \frac{E F}{A F}$ ，即 $\frac{B F}{4} = \frac{4}{2}$ ，

解得 $B F = 8$

$∴ D F = 8$

$∴ A D = D F - A F = 8 - 2 = 6$ ，

故 $A D$ 的长为6。

2024年中考数学热点探究十一 与圆有关的辅助线

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