2024年人教版中考数学二轮复习专题19 相似三角形

1. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度，按 $\text{[math]}$ 的路径匀速运动，设 $\text{[math]}$ 点的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数图象如图所示，则 $\text{[math]}$ 的周长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 下列说法正确的是（）

A . 任意两个位似三角形一定相似 B . 物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的 C . 如果2a＝3b ，则 $\text{[math]}$ D . 点P是长为2的线段AB的黄金分割点，则AP＝ $\text{[math]}$ －1

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3. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 题目：“如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 延长线上一点，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，求 $\text{[math]}$ 的长.”嘉嘉的答案：延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ .而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全， $\text{[math]}$ 还应有另一个不同的长度.”下列判断正确的是（）

A . 淇淇说的不对， $\text{[math]}$ 就等于3 B . 淇淇说的对，且 $\text{[math]}$ 的另一个长度为 $\text{[math]}$ C . 嘉嘉求的结果不对， $\text{[math]}$ 应得1.5 D . 两人都不对， $\text{[math]}$ 应有3个不同的长度

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5. 如图，某梯子长15米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 $\text{[math]}$ 时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，则梯子顶端上升了（）

A . 1米 B . 2米 C . 3米 D . 4米

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6. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论不正确的是（）

A . $\text{[math]}$
B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$
D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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7. 如图，已知AB=AC ， ∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点分别在CD，AD上滑动.若要△ABE与以点D，点M，点N为顶点的三角形相似，则DM的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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9. 如图，点P是 $\text{[math]}$ 的重心，点D是边AC的中点， $\text{[math]}$ 交BC于点E， $\text{[math]}$ 交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 12 B . 14 C . 18 D . 24

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10. 某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米，则这个坡的坡比为 $\text{[math]}$ ．

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11. 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的一个交点为点C，若AC＝2BC，则该反比例函数的表达式为．

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13. 已知两个反比例函数y₁＝ $\text{[math]}$ ， y₂＝ $\text{[math]}$ ，与过原点的一条直线在第一象限的交点分别为点A和点B，且OA＝2AB，则y₂的解析式为．

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14. 如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 的两条外角平分线交于点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线分别交 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 的面积为9，则 $\text{[math]}$ 的值是；当点A的坐标为 $\text{[math]}$ 时，则点 $\text{[math]}$ 的坐标是.

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15. 图1是某个零件横截面的示意图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，为了求出BC的长度，小艺将一根直尺按图2，图3，图4的三种方式摆放，所测得的具体数据（单位：cm）如图所示，则直尺宽为 cm，BC为 cm．

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16. 如图所示，D是AB的中点﹐ $\text{[math]}$ ，且AD=2，∠ADC=65°.

（1） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的对应边成比例，请写出比例式.

（2）求AC的长及∠ACB的度数.

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17. 如图，在等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上（不与点A、B、C重合），连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ ．

（2）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长．

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18. 如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转α度（0°＜α＜45°），GF与AB交于点H ．

（1）当BE＝4，α＝30°时，求BH的长；

（2）如图2，连接DF ， CE ， BD；
①判断DF与CE的数量关系，并证明；
②当G ， F ， D三点共线时，延长BF交AD于点M ， $\text{[math]}$ 时，求BC的长．

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19. 已知等边 $\text{[math]}$ 中的边长为4，点P ， M分别是边BC ， AC上的一点，以点P为顶点，作 $\text{[math]}$ ， PN与直线AB交于点N.

（1）依题意补全图1；

（2）求证： $\text{[math]}$

（3）如图2，若点P为BC中点， $\text{[math]}$ ，求AN的长.

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20. 廊坊某初中数学兴趣小组为测量路灯高度，设计了如下方案，请据此求出路灯高度 $\text{[math]}$ .

主题	测量路灯高度 $\text{[math]}$
工具	测角仪、皮尺等
人员	组长：xxx；组员：xxx、xxx、xxx
示意图
方案	在路灯前选一点P，并测出 $\text{[math]}$ ，然后把说明竖直竹竿 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上左右移动到某处， $\text{[math]}$ 地面， $\text{[math]}$ 地面处，并测出 $\text{[math]}$ .
数据	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
评价

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21. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小致发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论. 如图①，已知 A D 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，可证 $\text{[math]}$ . 小致的证明思路是：如图②，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 A D 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，构造相似三角形来证明.

（1）尝试证明：请参照小致的思路，利用图②证明 $\text{[math]}$ .

（2）基础训练：如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点．连接AD，将
△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．若AC=1，AB=2，则DE的长为

（3）拓展升华：如图④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD平分∠BAC，AD的中垂线EF交BC延长线于点F，当BD=3时，AF= .

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22. 如图
【方法尝试】如图1，矩形 $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 所得的图形， $\text{[math]}$ 分别是它们的对角线.求证： $\text{[math]}$ .
【类比迁移】如图2，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 在平面内逆时针旋转，设旋转角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
①请判断线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点B，D，E在同一直线上时，求线段 $\text{[math]}$ 的长.
【拓展延伸】如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，在射线 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的最值.

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23. 已知：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中，边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，在 $\text{[math]}$ 的左侧作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

（1）问题发现：在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中 $\text{[math]}$ 始终与 $\text{[math]}$ 相似，请写出完整的证明过程．

（2）问题延伸：
$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，直到 $\text{[math]}$ 的周长最小时点 $\text{[math]}$ 停止运动，直接写出在上述运动过程中点 $\text{[math]}$ 运动的路径长．

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24. 如图，将① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ 中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．

（1）条件是，结论是；（注：填序号）

（2）写出你的证明过程．

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25.

（1）【问题提出】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 边上一点，F是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ ；

（2）【问题探究】
如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中，点D是 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

（3）【问题解决】
某市进行绿化改造，美化生态环境.如图3，现有一块三角形的荒地 $\text{[math]}$ 计划改造公园，经测量 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ，按设计要求，要在三角形公园 $\text{[math]}$ 内建造一个以A为直角顶点的等腰直角三角形活动场所 $\text{[math]}$ ，且顶点D、顶点E分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 米，请求出符合设计要求的等腰直角三角形活动场所 $\text{[math]}$ 的顶点D所在的位置（即 $\text{[math]}$ 的长）.

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26. 【问题探究】

（1）如图1，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N，则 $\text{[math]}$ 的长为；

（2）如图2，点M是正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ 于点H，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，在M点从C到A的运动过程中，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

（3）【问题解决】
如图3，某市欲规划一块形如矩形 $\text{[math]}$ 的休闲旅游观光区，其中 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，点E、F是观光区的两个入口（点E、F分别为 $\text{[math]}$ 的中点），P，Q分别在线段 $\text{[math]}$ 上，设计者欲从P到Q修建绿化带 $\text{[math]}$ ，从B到H修建绿化带 $\text{[math]}$ ，绿化带宽度忽略不计，且满足 $\text{[math]}$ ，点H在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．为了方便市民游览，计划从D到H修建观光通道 $\text{[math]}$ ，根据设计要求，请你帮助设计者求出观光通道 $\text{[math]}$ 的最小值．

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27. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D做DQ⊥x轴于点M，DQ与BC相交于点M．DE⊥BC于E．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求线段DE长度的最大值；

（3）连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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