2024年人教版中考数学二轮复习专题15 矩形

1. 已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（）

A . 菱形 B . 矩形 C . 直角梯形 D . 等腰梯形

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2. 下列说法中，错误的是（）

A . 平行四边形的对角线互相平分 B . 对角线相等的平行四边形是矩形 C . 菱形的对角线互相垂直 D . 对角线互相垂直的四边形是菱形

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3. 如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，下列三个结论：①当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形，②当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形，③当 $\text{[math]}$ 时，它是正方形．其中结论正确的有（）

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

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4. 下列命题，其中是真命题的为（）

A . 顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是平行四边形 B . 对角线互相垂直的四边形是菱形 C . 对角线相等的四边形是矩形 D . 一组邻边相等的平行四边形是正方形

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5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，AB∥x 轴，AO⊥AD，且AO=AD，AE⊥CD于E，DE=4CE．反比例函数y= $\text{[math]}$ (x>0)，与边AB交于点F，连接OE，EF．若S_△_EOF= $\text{[math]}$ ，则k的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 7 D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，下列命题是真命题的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则平行四边形 $\text{[math]}$ 是菱形 B . 若 $\text{[math]}$ ，则平行四边形 $\text{[math]}$ 是矩形 C . 若 $\text{[math]}$ ，则平行四边形 $\text{[math]}$ 是矩形 D . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则平行四边形 $\text{[math]}$ 是正方形

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7. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一个动点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 下列结论： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 其中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. $\text{[math]}$ ， AC＝1，以BC为边作正方形BCED，当线段AC绕点A任意旋转时，正方形BCED也随之旋转，若x＝AD＋AE，则x的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，一个立方体有盖盒子，棱长为8cm，当正方形PDCS合上时，点A与点P重合，点B与点S重合，此时，两个全等的长方形ADFE与长方形BCHG向内合上，且顶点E，G都落在AB边上，点E在点G的右侧， $\text{[math]}$ ．

（1） AE的长度是cm．

（2）长方形ADFE和长方形BCHG，从底面ABCD翻开的过程中，当 $\text{[math]}$ 且∠EAB最大时，∠EAB的余弦值为．

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10. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点O， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为边 $\text{[math]}$ 上一点，且P不与B、C重合．过P作 $\text{[math]}$ 于E， $\text{[math]}$ 于F，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值等于．

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11. 如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的为35°．若无人机的飞行高度AD为42 m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

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12. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， P为边 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于F，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. 在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片 $\text{[math]}$ 折四边形， $\text{[math]}$ ，点E，G分别是 $\text{[math]}$ 边上的中点，点F，H分别是 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 翻折，点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点D的对应点为点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上时，则 $\text{[math]}$ cm；当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部时，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为AC上一点，以CD为直径的 $\text{[math]}$ 与AB相切于点E ，交BC于点F ， $\text{[math]}$ ，垂足为G ．

（1）求证：FG是 $\text{[math]}$ 的切线；

（2）若 $\text{[math]}$ 的半径长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BE的长．

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15. 如图，在□ABCD中，E为BC边的中点，连接DE ，并延长DE交AB的延长线于点F ．

（1）求证：四边形DBFC是平行四边形．

（2）若BC＝DF ， AD＝8，∠A＝60°，求BD的长．

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16. 平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 边上，对角线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ．

（1）如图1，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图2，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长有什么关系？请证明你的结论；

（3）如图3，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点 $\text{[math]}$ ，交x轴于点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 交AB于点D ，交x轴于点E ， P是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，在点D的上方，设 $\text{[math]}$ ．

（1）直接写出直线AB的函数解析式：；

（2）直接写出 $\text{[math]}$ 的面积S关于n的函数解析式：；

（3）当 $\text{[math]}$ 时，延长PA交x轴于点C ，以PC为边在第二象限内求一点F ，使 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形．

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18. 在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．

（1）点C的坐标是，△ABC的面积是；

（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A₁B₁C₁ ，连接AB₁、BA₁ ，画出四边形AB₁A₁B，并判断四边形AB₁A₁B是何种特殊四边形 ▲ ；

（3）请探究：在x轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．

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19. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

（2）探究：当 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，并说明理由．

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20. 【教材再现】
在初中数学教材中有这样一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图1，直线 $\text{[math]}$ ，直线m和直线n分别与直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 相交于点A，点B，点F，点D，直线m和直线n相交于点E，则 $\text{[math]}$ ；
【探究发现】
如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在边 $\text{[math]}$ 上（不与点B，点C重合），连接 $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长；

（3）点H在射线AC上，连接EH交线段 $\text{[math]}$ 于点G，当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

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21. 同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

（1）【问题一】
如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形 $\text{[math]}$ 的一个顶点， $\text{[math]}$ 交AB于点E， $\text{[math]}$ 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为；

（2）【问题二】
受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n都经过正方形ABCD的对角线交点O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；

（3）【问题三】
受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使得△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．

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22. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且 $\text{[math]}$ 连接CE

（1）求证：四边形OCED为矩形；

（2）连接AE，若DB=6，AC=8，求AE的长.

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23. 下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程．
已知： $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．
求作：正方形 $\text{[math]}$ ．
作法：如图，
⒈以点A为图心． $\text{[math]}$ 长为半径作弧；
⒉以点C为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧；
⒊两弧交于点D，点B和点D在 $\text{[math]}$ 异侧；
⒋连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．

（1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．
证明：∵ $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ ▲ ，
∴四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．（）（填推理的依据）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．（）（填推理的依据）
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．（）（填推理的依据）

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24. 如图， $\text{[math]}$ 中、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 外角平分线交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 分别作直线 $\text{[math]}$ 的垂线， $\text{[math]}$ 为垂足．

（1）求 $\text{[math]}$ 的大小；

（2） ①求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．
②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

（3）如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．（直接写出结果不写解答过程）．

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25. 如图1，已知直线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点C ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过不同的三个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， C（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当点A位于x轴的上方，过点A作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点P ，以 $\text{[math]}$ 为邻边构造矩形 $\text{[math]}$ ，求该矩形周长的最小值，并求出此时点A的坐标．

（3）如图2，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到新的抛物线 $\text{[math]}$ ，新的抛物线 $\text{[math]}$ 与原抛物线相交于点D ，与y轴相交于点E ，点N是平移后新抛物线对称轴上一点．点M是坐标平面内一点，当以D、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，直接写出所有点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标过程写出来．

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2024年人教版中考数学二轮复习专题15 矩形

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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