2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.3 完全平方公式与平方差公式同步分层训练培优题

1. 下面计算正确的是（　　）

A . （a+1）²＝a²+1 B . （a²）³﹣a⁸÷a⁴＝a⁴ C . （m²n）³•m²n＝m⁸n⁴ D . （12a²b²c﹣4a²b）÷4a²b＝3bc

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2. 计算 $\text{[math]}$ ____．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（　　）

A . 205 B . 250 C . 502 D . 520

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4. 如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）

A . （a﹣b）²=a²﹣2ab+b² B . （a+b）²=a²+2ab+b² C . a²﹣b²=（a+b）（a﹣b） D . a²+ab=a（a+b）

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5. 如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ $\text{[math]}$ ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5.若右侧阴影部分的面积S₂是左侧阴影部分面积S₁的4倍，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（）

A . 20 B . 25 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 有 $\text{[math]}$ 个依次排列的整式：第 $\text{[math]}$ 项是 $\text{[math]}$ ，用第 $\text{[math]}$ 项乘 $\text{[math]}$ ，所得之积记为 $\text{[math]}$ ，将第 $\text{[math]}$ 项加上 $\text{[math]}$ 得到第 $\text{[math]}$ 项，再将第 $\text{[math]}$ 项乘 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，将第 $\text{[math]}$ 项加上 $\text{[math]}$ 得到第 $\text{[math]}$ 项 $\text{[math]}$ 以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列 $\text{[math]}$ 个结论：
$\text{[math]}$ 第 $\text{[math]}$ 项为 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 若第 $\text{[math]}$ 项的值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
以上结论正确的个数为（）

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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9. 已知：x²﹣y²＝2023，且x﹣y＝2023，则x+y＝．

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10. 若4x²+kx+25是一个完全平方式，则k的值是．

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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12. 用如图1所示的 $\text{[math]}$ 张长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的小长方形纸片，按图 $\text{[math]}$ 的方式不重叠地放在矩形 $\text{[math]}$ 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的长度发生变化时，按照同样的放置方式， $\text{[math]}$ 始终保持不变．则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间满足的关系式为．

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13. 一个三位数A ．它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，则称这个三位数为“三好数”，将“三好数”A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为 $\text{[math]}$ ，另记A和 $\text{[math]}$ 的和为 $\text{[math]}$ ．例如：246满足 $\text{[math]}$ ，则246是“三好数”，且 $\text{[math]}$ ，则134（选填“是”或“不是”)“三好数”；已知“三好数”M的百位数字小于个位数字，且 $\text{[math]}$ 能被8整除，则满足条件的“三好数”M的最大值为．

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14. 观察下列等式，回答问题．
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ；

（1）试求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）判断 $\text{[math]}$ 的值的个位数字是几？

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15. 如图1，长方形ABCD的边长分别为a，b，请观察图形，解答下列问题：

（1）若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图2所示的正方形，请写出代数式(a+b)² ， (a-b)² ， ab之间的等量关系：

（2）根据(1)中的等量关系解决问题：若x+y=7，xy=6，求x-y的值.

（3）若以长方形ABCD的各边为一边向外作正方形(如图3)，且四个正方形的周长之和为32，四个正方形的面积之和为20，求长方形ABCD的面积.

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16. 用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式 $\text{[math]}$ 例如：计算图 $\text{[math]}$ 的面积，把图 $\text{[math]}$ 看作一个大正方形 $\text{[math]}$ 它的面积是 $\text{[math]}$ ；如果把图 $\text{[math]}$ 看作是由 $\text{[math]}$ 个长方形和 $\text{[math]}$ 个小正方形组成的，它的面积为 $\text{[math]}$ ，由此得到 $\text{[math]}$ ．

（1）如图 $\text{[math]}$ ，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为．

（2）利用(1)中的结论解决以下问题：
已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）如图 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 边长为 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图 $\text{[math]}$ 中阴影部分的面积．

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17. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 $\text{[math]}$ ，这样就用图形面积验证了完全平方公式．

（1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为；

（2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为；

（3）利用上面（2）的结论解决问题：若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若这两个正方形的边长满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出阴影部分的面积．

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2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.3 完全平方公式与平方差公式同步分层训练培优题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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