备考2024年中考数学核心素养专题十一数与式的最值问题

修改时间：2024-03-11 浏览次数：28 类型：二轮复习编辑

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一、选择题

1. 已知正整数a，b，c满足2a=b+270，a+7c=6b，则a的最小值为（）

A . 141 B . 153 C . 160 D . 174

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2. 已知实数m，n满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 24 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . -4

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3. 代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 0 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 不存在

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4. 设 $\text{[math]}$ 是有理数， $\text{[math]}$ ，则正确的是（）

A . 没有最小值 B . 只有一个 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 取到最小值 C . 有有限多个 $\text{[math]}$ （不止一个）使 $\text{[math]}$ 取到最小值 D . 有无穷多个 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 取到最小值

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5. 求 $\text{[math]}$ 的最小值（　　）

A . 12 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . 3

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6. 定义：关于x的一元二次方程： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）²+4＝0与3（x﹣3）²+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：2（x﹣1）²+1＝0与（a+2）x²+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax²+bx+2019的最大值是（　　）

A . 2024 B . 2023 C . 2022 D . 2021

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7. 定义平面内任意两点P(x₁ ， y₁)、Q(x₂ ， y₂)之间的距离d_PQ=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距d_PQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y= $\text{[math]}$ x-2上，点B为抛物线y=x²+2x上一点，则曼距d_AB的最小值（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 有最大值 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 有最大值 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$

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9. 关于二次函数 $\text{[math]}$ 的最大值或最小值，下列说法正确的是（）

A . 有最大值4 B . 有最小值4 C . 有最大值6 D . 有最小值6

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10. 在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上有且只有一个雅系点 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，最大值为 $\text{[math]}$ ，则m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 对于实数a、b ，定义新运算 $\text{[math]}$ ，若二次函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）
①方程 $\text{[math]}$ 的解为x = 0 或x= − 1； ②关于x的方程 $\text{[math]}$ 有三个解，则 $\text{[math]}$ ； ③当x<− 1 时，y随x增大而增大； ④当x > − 1 时，函数 $\text{[math]}$ 有最大值 0．

A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个

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二、填空题

12. 嘉淇准备完成题目：解一元二次方程 $\text{[math]}$ □ $\text{[math]}$ .若“□”表示一个数字，且一元二次方程 $\text{[math]}$ □ $\text{[math]}$ 有实数根，则“□”的最大值为；此时方程的解为.

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13. 已知m为正整数，若 $\text{[math]}$ 是整数，则根据 $\text{[math]}$ 可知m有最小值 $\text{[math]}$ .设n为正整数，若 $\text{[math]}$ 是大于1的整数，则n的最小值为，最大值为.

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14. 已知x，y，z为实数，满足 $\text{[math]}$ ，那么x²+y²+z²的最小值是

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15. 已知函数y $\text{[math]}$ 的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为．

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16. 已知点P（m，n）在双曲线上 $\text{[math]}$ ，则m²-3mn+n²的最小值为．

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17. 由直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 是正整数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴及 $\text{[math]}$ 轴所围成的图形面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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18. 若一个四位正整数 $\text{[math]}$ 满足：a+c＝b+d ，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为．

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三、综合题

19. 已知非负数 $\text{[math]}$ ，且有 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值．

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20. 阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值.方法如下：

∵ $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ；

∴代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是4.

（1）仿照上述方法求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值.

（2）代数式 $\text{[math]}$ 有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.

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21. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式 $\text{[math]}$ 最小值．
解： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∵无论x取何实数，总有 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ ．
即无论x取何实数， $\text{[math]}$ 的值总是不小于 $\text{[math]}$ 的实数．
问题：

（1）已知 $\text{[math]}$ ，求证y是正数；

（2）知识迁移：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在边 $\text{[math]}$ 上，从点A向点C以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点Q在 $\text{[math]}$ 边上以 $\text{[math]}$ 的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，

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22. 【阅读理解】我们知道 $\text{[math]}$ ，所以代数式 $\text{[math]}$ 的最小值为0，可以用公式 $\text{[math]}$ 来求一些多项式的最小值.
例如：求 $\text{[math]}$ 的最小值问题.
解：∵ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 的最小值为－8.
【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：

（1）类比： $\text{[math]}$ 的最小值为.

（2）探究：代数式 $\text{[math]}$ 有最（填“大”或“小”）值，为.

（3）拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？

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23. 对于“已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值”这个问题，小明是这样求解的：
∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ .
请你按照这种方法计算：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值.

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24. 在 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数中，对于实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有最大值 $\text{[math]}$ ，最小值 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“极差函数” $\text{[math]}$ 此函数为 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ；特别的，当 $\text{[math]}$ 为一个常数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 无关 $\text{[math]}$ 时，称 $\text{[math]}$ 有“极差常函数”．

（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应内画“ $\text{[math]}$ ”，如果不是，请在对应内画“ $\text{[math]}$ ”．（）
$\text{[math]}$ （）；

$\text{[math]}$ （）；

$\text{[math]}$ （）

（2） y关于 $\text{[math]}$ 的一次函数 $\text{[math]}$ ，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数” $\text{[math]}$ ，求一次函数解析式；

（3）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，写出函数 $\text{[math]}$ 的“极差函数” $\text{[math]}$ ；并求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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25. 在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．

（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为；
②在点 $\text{[math]}$ （0，2）， $\text{[math]}$ （3，3）， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， 0）中，⊙O的“倍点”是；

（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（-1，1），若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，求t的值；

（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积．

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26. 若关于x的函数y，当 $\text{[math]}$ 时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数 $\text{[math]}$ ，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”.

（1） ①若函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；

（2）若函数 $\text{[math]}$ ，求函数y的“共同体函数”h的最大值；

（3）若函数 $\text{[math]}$ ，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

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27. 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的点P和图形M ，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果 $\text{[math]}$ 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作 $\text{[math]}$ ．已知直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A ，与y轴交于点B ， $\text{[math]}$ 的半径为1．

（1）若 $\text{[math]}$ ，
①求 $\text{[math]}$ 的值；

②若点C在直线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

（2）以点A为中心，将线段 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，点E在线段 $\text{[math]}$ 组成的图形上，若对于任意点E ，总有 $\text{[math]}$ ，直接写出b的取值范围．

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28. 若二次函数y₁＝ax²＋4x＋b与y₂＝bx²＋4x＋a均有最小值，记y₁ ， y₂的最小值分别为m ， n ．

（1）若a＝4，b＝1，求m ， n的值．

（2）若m＋n＝0，求证：对任意的实数x ，都有y₁＋y₂≥0．

（3）若m ， n均大于0，且mn＝2，记M为m ， n中的较大者，求M的最小值．

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