【提升卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （m为常数）的图像与x轴的一个公共点为（1，0），则关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两实数根是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 两点，关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 有两个根，其中一个根是3．则关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 有两个整数根，这两个整数根是（）

A . $\text{[math]}$ 或0 B . $\text{[math]}$ 或2 C . $\text{[math]}$ 或3 D . $\text{[math]}$ 或4

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3. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，下列结论正确的是（）

A . abc＞0 B . 关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的两根为3和﹣2 C . 9a+c＞3b D . 当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4

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4. 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数）在 $\text{[math]}$ 的范围内有解，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，以直线 $\text{[math]}$ 为对称轴的二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程 $\text{[math]}$ 的正数解的范围是（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两实根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，以下关系成立的是（）

A . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是( 　)

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两实数根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. “如果二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、 $\text{[math]}$ 是关于x的方程 $\text{[math]}$ 的两根，且 $\text{[math]}$ ，则a、b、m、n的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（）

A . -1 B . 0 C . 1 D . 2

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11. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的解为 .

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12. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，与x轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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13. 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图，若一元二次方程 $\text{[math]}$ 有实数根，则 $\text{[math]}$ 的最小值为

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14. 二次函数 $\text{[math]}$ （a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：

x	-1	- $\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$	2	$\text{[math]}$	3
y	-2	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$	2	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$	-2

一元二次方程 $\text{[math]}$ （a≠0，a，b，c是常数）的两个根 $\text{[math]}$ 的取值范围是下列选项中的哪一个（填序号）

① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$

③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$

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15. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数）在 $\text{[math]}$ 的范围内有实数根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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16. 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ .

（1）求证：无论 $\text{[math]}$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若此抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的一个交点在 $\text{[math]}$ 轴上，求 $\text{[math]}$ 的值.

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17. 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为常数.

（1）求证：无论 $\text{[math]}$ 为何值，方程总有两个不相等实数根.

（2）已知函数 $\text{[math]}$ 的图象不经过第三象限，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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18. 已知抛物线 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求该抛物线与 $\text{[math]}$ 轴公共点的坐标；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，对应的 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 时，对应的 $\text{[math]}$ ，试判断当 $\text{[math]}$ 时，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，请说明理由.

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19. 某班“数学兴趣小组”对函数 $\text{[math]}$ 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.

（1）自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围是全体实数， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组对应值列表如下：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

其中， $\text{[math]}$ .

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质；

（4）进一步探究函数图象发现：

①方程 $\text{[math]}$ 有个实数根；

②函数图象与直线 $\text{[math]}$ 有个交点，所以对应方程 $\text{[math]}$ 有个实数根；

③关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 个实数根， $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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20. 我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解.如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝1﹣x的解为x＝1.5.

（1）如图（乙），已画出了反比例函数 $\text{[math]}$ 在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x²﹣2x﹣1＝0的正数解.（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）

（2）选择：三次方程x³﹣x²﹣2x+1＝0的根的正负情况是　　.

A . 有两个负根，一个正根 B . 有三个负根 C . 有一个负根，两个正根 D . 有三个正根

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21. 我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D点”.根据该约定，完成下列各题：

（1）在下列关于x的函数中，是“D函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D函数”的打“×”.
① $\text{[math]}$ （）；② $\text{[math]}$ （）；③ $\text{[math]}$ （）；

（2）若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 是关于x的“D函数” $\text{[math]}$ 的一对“D点”，且该函数的对称轴始终位于直线 $\text{[math]}$ 的右侧，求a，b，c的值或取值范围；

（3）若关于x的“D函数” $\text{[math]}$ （a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ .求该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围.

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22. 阅读与思考：下面是小明同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．

下面根据抛物线的顶点坐标( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）和一元二次方程根的判别式△=b²-4ac，分a>0和a<0两种情况进行分析：
当a>0时，抛物线开口向上．

①当△=b²-4ac>0时，有4ac-b²<0．

∵a>0，∴顶点纵坐标 $\text{[math]}$ <0，

∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图①)，

∴一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．

②当△=b²-4ac=0时，有4ac-b²=0．

∵a>0，∴顶点纵坐标 $\text{[math]}$ =0，

∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图②)，

∴一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，

③当△=b²-4ac<0……
当a<0时，抛物线开口向下．

……

任务：

（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是(从下面选项中选出两个即可)
A．数形结合

B．统计思想

C．分类讨论

D．转化思想

（2）请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，△<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图．

（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例．

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【提升卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共55分）

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【提升卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共55分）

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