【备考2024年】中考数学杭州卷真题变式分层精准练第21题

1. 在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

（2）求证： $\text{[math]}$ ．

（3）以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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2. 已知有一块三角形材料 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ ，现需要在三角形 $\text{[math]}$ 上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，裁下的正方形 $\text{[math]}$ 的边长是多少？

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3. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相较于点O，E是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长.

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4. 如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在边CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以点D、M、N为顶点的三角形相似？请说明理由。

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5. 如图，延长正方形 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点F，过点F作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G.求证： $\text{[math]}$ .

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6. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P．

（1）求证：FG＝EH；

（2）若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF $\text{[math]}$ ，求PF的长度．

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7. 如图所示正方形 $\text{[math]}$ 与等边 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线段 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）证明： $\text{[math]}$ ．

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8. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD.

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求 CG的长.

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9. 如图，正方形ABCD，E，F分别在边BC，AB上，BE=BF，AE，CF交于点P.

（1）求证：△ABE≌△CBF；

（2）若AB=6，BE=2，求PC的长.

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10. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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11. 如图，将边长为3的正方形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，折痕分别与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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12. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点M是边 $\text{[math]}$ 的中点，点E在线段 $\text{[math]}$ 上（不与点A重合），点F在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在正方形 $\text{[math]}$ 内作正方形 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，当点E与点M重合时，求正方形 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）如图2，已知直线 $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ 交于点I，J，射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点K，求证： $\text{[math]}$ ．

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13. 如图，在等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，边长为2的正方形 $\text{[math]}$ 的对角线交点与点C重合，点D在 $\text{[math]}$ ABC内部， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点M，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）当点A、D、E三点在同一直线上时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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14. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若四边形ABCD是正方形，如图1：则有AC=BD，AC⊥BD.

旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC’与BD’有什么关系？（直接写出）；

若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC’与BD’又有什么关系？写出结论并证明.

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15. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是边 $\text{[math]}$ 上的一点，过点E作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点P，交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点G．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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16. 已知：正方形 $\text{[math]}$ ，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点 $\text{[math]}$ 处，使三角板绕点 $\text{[math]}$ 旋转.

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（3）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当三角板的边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 重合时（如图2），若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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17. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以AB为一边向外做正方形 $\text{[math]}$ ，连接对角线交于点O.

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，问：
① $\text{[math]}$ 的度数；
② $\text{[math]}$ 的面积.

（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别交于点F和点G，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.

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18. 【课本再现】

（1）正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形 $\text{[math]}$ 的面积的比值是 $\text{[math]}$ ；在正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．

（2）【拓展延伸】如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在对角线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，旋转过程中， $\text{[math]}$ 的两边分别与 $\text{[math]}$ 边和 $\text{[math]}$ 边交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①在 $\text{[math]}$ 的旋转过程中，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的长．

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19. 【情境再现】

（1）如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

（2）【迁移应用】
如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （k为常数），点E、F、G、H分别在矩形 $\text{[math]}$ 的边上，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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20. 【推理】
如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一动点，将正方形沿着 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ．

（2）如图2，在【推理】条件下，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

（3）将正方形改成矩形，同样沿着 $\text{[math]}$ 折叠，连结 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ．

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21.

（1）【问题探究】如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F、G、H分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .试猜想 $\text{[math]}$ 的值，并证明你的猜想.

（2）【知识迁移】如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E、F、G、H分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .则求 $\text{[math]}$ 的值（用含m，n的式子表示）.

（3）【拓展应用】如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E、F分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ .

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22. 如图

（1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；

（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为.

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23.

（1）【基础巩固】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，求证： $\text{[math]}$ .

（2）【尝试应用】如图2，已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的两点，且满足 $\text{[math]}$ ，一条平行于 $\text{[math]}$ 的直线分别交 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

（3）【拓展提高】如图3，点E是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的一个动点， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点F，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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24. 如图①．在矩形 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度运动，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 或边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连续 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，点 $\text{[math]}$ 停止运动．设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．（ $\text{[math]}$ ）

（1）当点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 重合时，线段 $\text{[math]}$ 的长为；

（2）当点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ ；

（3）当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；

（4）作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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【备考2024年】中考数学杭州卷真题变式分层精准练第21题

一、原题

二、基础

三、提高

四、培优

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