浙教版备考2023年中考数学一轮复习54.直角三角形的性质和判定

1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°，则下列结论中正确的是（）

A . AD=2CD B . CD=2BD C . AC=2BC D . AB=4BD

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2. 在△ABC中，BC＝ $\text{[math]}$ ＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ＋1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ＋1

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3. 如图，△ABD和△CBD，∠ADB=90°，∠ABD=∠DBC，AD=DC=1，若AB=4，则BC的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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4. 如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）

A . 2 B . 2 $\text{[math]}$ C . 4 D . 4+2 $\text{[math]}$

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5. 如图，已知⊙O的直径为4，∠ACB＝45°，则AB的长为（）

A . 4 B . 2 C . 4 $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

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6. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结BG，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 4

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7. 活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为 $\text{[math]}$ ，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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8. 如图，在等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 不与端点重合 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则阴影部分的面积为（）

A . 12 B . 12.5 C . 13 D . 13.5

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9. 在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图1是第七届国际数学教育大会（ $\text{[math]}$ ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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11. 如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：

（1）分别以点A，B为圆心，大于 $\text{[math]}$ AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于 $\text{[math]}$ GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．
已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为.

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12. 已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为 $\text{[math]}$ ，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．

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13. 如图，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转得到 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ $\text{[math]}$ ， CD＝2，则△ABE的面积为．

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15. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以此类推，令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意大于1的整数 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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17. 方格纸中小正方形的顶点叫格点，点A和点B是格点，位置如图.

（1）在图1中确定格点C，使得△ABC是直角三角形，画出一个这样的△ABC，并直接写出线段AB的长.

（2）在图2中确定格点D，使得△ABD是等腰三角形，画出一个这样的△ABD.

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18. 如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ．

（2）连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

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19. 如图，在矩形ABCD中，AB= $\text{[math]}$ BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．

（1）若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；

（2）若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．

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20. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

（1）问题发现：
如图1，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： $\text{[math]}$ ；
图1

（2）解决问题：如图2，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点A，D，E在同一条直线上，CM为 $\text{[math]}$ 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2

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21. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝ $\text{[math]}$ ， ∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PEF（∠E＝90°，∠EPF＝30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A，B重合），三角尺的直角边PE始终经过点C，斜边PF交AC于点D.

（1）当PD∥BC时，判断△BCP的形状，并说明理由；

（2）当△PCD是等腰三角形时，求出所有满足要求的BP的长；

（3）记点C关于PD的对称点为C′，当C′D⊥AC时，AP的长是.

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22. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上.

（1）求m的值和点D的坐标；

（2）求DF所在直线的表达式；

（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S_△EFG.

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23. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①： $\text{[math]}$

公式②： $\text{[math]}$

公式③： $\text{[math]}$

公式④： $\text{[math]}$

图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式；

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 $\text{[math]}$ 的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中， $\text{[math]}$ ， D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作 $\text{[math]}$ 于点G，作 $\text{[math]}$ F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为 $\text{[math]}$ ， △ABD与△AEH的面积之和为 $\text{[math]}$ .

①若E为边AC的中点，则 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ；

②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.

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24. 如图：

（1）【问题初探】
如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，位置关系．

（2）【类比再探】
如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 上一点，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

（3）【方法迁移】
如图3， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 中点，点D是 $\text{[math]}$ 上一点且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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