北京市中考数学真题汇编（近五年）4 图形的性质----三角形

1. 如图所示，点P到直线l的距离是（）

A . 线段PA的长度 B . 线段PB的长度 C . 线段PC的长度 D . 线段PD的长度

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2. 如图，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）

A . ∠1=∠2 B . ∠2=∠3 C . ∠1＞∠4+∠5 D . ∠2＜∠5

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4. 在 $\text{[math]}$ ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明 $\text{[math]}$ ABD≌ $\text{[math]}$ ACD，这个条件可以是（写出一个即可）

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5. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则 $\text{[math]}$ ABC的面积与 $\text{[math]}$ ABD的面积的大小关系为： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“＞”，“＝”或“＜”）

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6. 如图所示的网格是正方形网格，则 $\text{[math]}$ ＝°（点A，B，P是网格线交点）.

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7.
下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是

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8. 如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm².（结果保留一位小数）

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9. 如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S_△CMN=1，则S_{四边形ABNM}=．

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=．

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11. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
求证：AD=BC．

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12. 已知：如图， $\text{[math]}$ ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP= $\text{[math]}$ ．

作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，

∴∠ABP=．

∵AB=AC，

∴点B在⊙A上．

又∵∠BPC= $\text{[math]}$ ∠BAC（）（填推理依据）

∴∠ABP= $\text{[math]}$ ∠BAC

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13. 《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 $\text{[math]}$ 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 $\text{[math]}$ 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 $\text{[math]}$ 处的杆的影子的方向取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 两点间的距离为10步，在点 $\text{[math]}$ 处立一根杆．取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，那么直线 $\text{[math]}$ 表示的方向为东西方向．

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 $\text{[math]}$ 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ （保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线 $\text{[math]}$ 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 $\text{[math]}$ 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，

$\text{[math]}$ ▲ （填推理的依据）．

∵直线 $\text{[math]}$ 表示的方向为东西方向，

∴直线 $\text{[math]}$ 表示的方向为南北方向．

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14. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，以点 $\text{[math]}$ 为中心，将线段 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；用等式表示线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明；

（2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

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15. 在 $\text{[math]}$ 中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设 $\text{[math]}$ ，求EF的长（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

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16. 已知 $\text{[math]}$ ，H为射线OA上一定点， $\text{[math]}$ ，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足 $\text{[math]}$ 为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1；

（2）求证： $\text{[math]}$ ；

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．

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17. 在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 两边的中点，如果 $\text{[math]}$ 上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称 $\text{[math]}$ 为△ABC的中内弧．例如，下图中 $\text{[math]}$ 是△ABC的一条中内弧．

（1）如图，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．画出△ABC的最长的中内弧 $\text{[math]}$ ，并直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，在△ABC中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．
①若 $\text{[math]}$ ，求△ABC的中内弧 $\text{[math]}$ 所在圆的圆心 $\text{[math]}$ 的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

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18. 在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G， $\text{[math]}$ 的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．

（1）求证：AD=CD；

（2）过点D作DE $\text{[math]}$ BA，垂足为E，作DF $\text{[math]}$ BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．

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19. 在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

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20.
在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；
想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；
想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．

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