解：如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

①当 $t = \frac{1}{2}$ 时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1）， $F (\frac{1}{2} ， 1)$ ，

设 $P (\frac{1}{2} ， m)$ 由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，

∵OA=OC，∠AOC=90°

∴∠ACO=45°，

∵DE∥OC

∴∠AED=∠ACO=45°

作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF= $\frac{1}{2}$

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；

$∴ m ⩽ \frac{1}{2}$

综上所述， $m ⩽ \frac{1}{2}$ 或m≥1．

②图4，设圆心P在AC上，

∵P在DE中垂线上，

∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM= $\frac{3}{2}$

$∴ P (t ， \frac{3}{2})$ ，

∵DE∥BC

∴∠ADE=∠AOB=90°，

$∴ A E = \sqrt{A D^{2} + D E^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(2 t)}^{2}} = \sqrt{4 t^{2} + 1}$

∵PD=PE，

∴∠AED=∠PDE

∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，

∴∠DAE=∠ADP

$∴ A P = P D = P E = \frac{1}{2} A E$

由三角形中内弧定义知，PD≤PM

$∴ \frac{1}{2} A E ⩽ \frac{3}{2}$ ，AE≤3，即 $\sqrt{4 t^{2} + 1} ⩽ 3$ ，解得： $t ⩽ \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} ∵ t > 0 \\ ∴ 0 < t ⩽ \sqrt{2} \end{array}$

北京市中考数学真题汇编（近五年）4 图形的性质----三角形