广东省珠海市2021届高三数学二模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对应复平面内的点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. 已知 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 7 D . $\text{[math]}$

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5. 5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（）种不同的分配方法

A . 24 B . 48 C . 96 D . 12

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的图像为（）

A . B . C . D .

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7. 设数列 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 18 B . 30 C . 36 D . 24

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8. 《九章算术》勾股章有一问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有三尺，牵着绳索退行，拉直绳索，绳索头与地面接触点离木柱根部八尺处时绳索用尽，现从该绳索上任取一点，该点取自木柱中点上方的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 恒成立 B . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的减函数 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 得到极大值 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 只有一个零点

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个周期 B . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一条对称轴 C . 函数 $\text{[math]}$ 的一个增区间是 $\text{[math]}$ D . 把函数 $\text{[math]}$ 的图像向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数 $\text{[math]}$ 的图像

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11. 如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

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12. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段 $\text{[math]}$ 上取两个点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在线段 $\text{[math]}$ 的上方做一个正方形，然后擦掉 $\text{[math]}$ ，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段 $\text{[math]}$ 作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图 $\text{[math]}$ ，各图中的线段长度和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 恒成立 D . 存在正数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立

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13. 若 $\text{[math]}$ 的二项展开式中二项式系数最大项为 $\text{[math]}$ ，则a=.

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14. 已知某校期末考试数学平均分 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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15. 设圆锥曲线 $\text{[math]}$ 的两个焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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16. 正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 内的动点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为.

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17. 在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：如图，直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 ▲ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前40项和 $\text{[math]}$ .

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19. 如图，圆柱 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 为过轴 $\text{[math]}$ 的圆柱的截面，点 $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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20. 现有甲乙两个项目，对甲、乙两个项目分别投资202万元，甲项目一年后利润是1万元、2万元、3万元的概率分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化，乙项目在一年内，价格最多可进行两次调整，每次调整的概率为 $\text{[math]}$ ，设乙项目一年内价格调整次数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取0、1、2时，一年后利润分别是3万元、2万元、1万元.设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别表示对甲、乙两个项目各投资20万元一年后的利润.

（1）写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的概率分布列和数学期望；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，讨论函数 $\text{[math]}$ 的导数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2） $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）已知点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右顶点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上不同于A､ $\text{[math]}$ 的任一点，在抛物线 $\text{[math]}$ 上存在两点 $\text{[math]}$ ，使得四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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广东省珠海市2021届高三数学二模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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