湖南省常德市2021届高三下学期数学一模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . {2} B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某学校高一年级星期五随机安排6节课，上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语､体育各1节，则2节数学恰好相邻的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 2021年3月全国两会上，“碳达峰”碳中和”备受关注.为应对气候变化，我国提出“二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”等庄严的目标承诺.在今年的政府工作报告中，“做好碳达峰､碳中和工作”被列为2021年重点任务之一；“十四五”规划也将加快推动绿色低碳发展列入其中.我国自1981年开展全民义务植树以来，全国森林面积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为1984﹣1988年，每5年清查一次，历次清查数据如表：

第 $\text{[math]}$ 次	3	4	5	6	7	8	9
森林面积 $\text{[math]}$ (亿平方米)	1.25	1.34	1.59	1.75	1.95	2.08	2.20

经计算得到线性回归直线为 $\text{[math]}$ (参考数据： $\text{[math]}$ )，据此估算我国森林面积在第几次森林资源清查时首次超过3亿平方米（）

A . 12 B . 13 C . 14 D . 15

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6. 哥隆尺是一种特殊的尺子，对哥隆尺数码的研究在雷达和声呐技术､模式匹配和信息检索､同步光电探测器的代码､射电天文学等有广泛的应用，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6，图2的哥隆尺的刻度4到12之间增加一个整数刻度n ，使得能一次性度量的长度个数最多，则整数刻度n的值为（）

A . 8 B . 9 C . 10 D . 11

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7. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过右焦点作垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 恰有5个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的一个对称中心 C . $\text{[math]}$ D . 函数 $\text{[math]}$ 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后所得函数为偶函数

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10. 下列不等式中成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 下列说法正确的是（）

A . 命题 $\text{[math]}$ 的否定 $\text{[math]}$ B . 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式的各项的系数和为32 C . 已知直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是 $\text{[math]}$ ”的必要不充分条件 D . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称

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12. 如图，点 $\text{[math]}$ 在正方体 $\text{[math]}$ 的面对角线 $\text{[math]}$ 上运动，则下列结论中正确的是（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积不变 B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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13. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =.

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14. 已知向量 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =.

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15. 已知边长为1的正 $\text{[math]}$ 的三点都在球 $\text{[math]}$ 的球面上， $\text{[math]}$ 的延长线与球面的交点为 $\text{[math]}$ ，若三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的体积为.

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16. 定义：点 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 外的一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的两个动点，则 $\text{[math]}$ 取最大值时， $\text{[math]}$ 叫点 $\text{[math]}$ 对曲线 $\text{[math]}$ 的张角.已知点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点，设 $\text{[math]}$ 对圆 $\text{[math]}$ 的张角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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17. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求角 $\text{[math]}$ ；

（2）延长 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.

（1）若 $\text{[math]}$ .求数列 $\text{[math]}$ 的通项；

（2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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19. 为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取20000名志愿者，并将该疫苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的某项医学指标值，统计得到如表频率分布表：

医学指标值X	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
频率	0.05	0.1	0.15	0.4	0.2	0.06	0.04

（1）根据频率分布表，估计20000名志愿者的该项医学指标平均值 $\text{[math]}$ (同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；

（2）若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，用（1）中的平均值 $\text{[math]}$ 近似代替 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，且首次注射疫苗的人该项医学指标值不低于14时，则认定其体内已经产生抗体；现从该市随机抽取3人进行第一次疫苗注射，求能产生抗体的人数 $\text{[math]}$ 的分布列与期望．

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20. 如图，已知斜三棱柱 $\text{[math]}$ 底面是边长2的正三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在平面上一点且四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的正弦值.

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21. 已知在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 到定点 $\text{[math]}$ 的距离与到定直线 $\text{[math]}$ 的距离的比等于常数2.

（1）求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，设劣弧 $\text{[math]}$ 所对的圆心角为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.

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22. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为常数，且 $\text{[math]}$ .

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的两个极值点，证明： $\text{[math]}$ .

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湖南省常德市2021届高三下学期数学一模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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