北京市丰台区2021届高三数学一模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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4. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为始边，且 $\text{[math]}$ .把角 $\text{[math]}$ 的终边绕端点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 弧度，这时终边对应的角是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若直线 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的一条对称轴，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . -1 C . 1 D . 2

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6. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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7. $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 4 C . 4或9 D . 2或18

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8. 大气压强 $\text{[math]}$ ，它的单位是“帕斯卡”（Pa ， 1Pa=1N/m²），大气压强 $\text{[math]}$ （Pa）随海拔高度 $\text{[math]}$ （m）的变化规律是 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ m^-1）， $\text{[math]}$ 是海平面大气压强.已知在某高山 $\text{[math]}$ 两处测得的大气压强分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 两处的海拔高度的差约为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 550m B . 1818m C . 5500m D . 8732m

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9. 已知非零向量 $\text{[math]}$ 共面，那么“存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有三个不同的根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为.

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12. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中常数项为(用数字作答).

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13. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 设等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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15. 如图，从长、宽、高分别为 $\text{[math]}$ 的长方体 $\text{[math]}$ 中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥 $\text{[math]}$ .下列四个结论中，所有正确结论的序号是.

①三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ；②三棱锥 $\text{[math]}$ 的每个面都是锐角三角形；③三棱锥 $\text{[math]}$ 中，二面角 $\text{[math]}$ 不会是直二面角；④三棱锥 $\text{[math]}$ 中，三条侧棱与底面所成的角分别记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）当函数 $\text{[math]}$ 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 $\text{[math]}$ 时，________. 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.①求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值；②求 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；③若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.

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17. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，且 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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18. 某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示.

（1）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；

（2）从2011年至2020年中任选两年，设 $\text{[math]}$ 为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

（3）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为 $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 的大小.（只需写出结论）

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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 长轴的两个端点分别为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2） $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的动点，直线 $\text{[math]}$ 分别交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
（ⅰ）求证：直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积为定值；

（ⅱ）判断 $\text{[math]}$ 三点是否共线，并说明理由.

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）若函数 $\text{[math]}$ 存在三个零点，分别记为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
（ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（ⅱ）证明： $\text{[math]}$ .

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21. 已知数列 $\text{[math]}$ ，现将数列 $\text{[math]}$ 的项分成个数相同的两组，第一组为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ；第二组为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ .

（1）若数列 $\text{[math]}$ ，写出数列 $\text{[math]}$ 的一种分组结果，并求出此时 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若数列 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；（其中 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 中较大的数）

（3）证明： $\text{[math]}$ 的值与数列 $\text{[math]}$ 的分组方式无关.

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北京市丰台区2021届高三数学一模试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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