湖南省五市十校2020-2021学年高三上学期数学第二次大联考试卷

1. 设复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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2. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是（）

A . 第一象限角 B . 第二象限角 C . 第三象限角 D . 第四象限角

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3. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为递减数列”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 陈镜开(1935~2010)，新中国举重运动员，1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133公斤的成绩，打破美国运动员C.温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录1956~1964年期间，在上海､北京､莫斯科､莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录，举重比赛挺举项目中，运动员对所要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重量的比赛，才有资格进入下轮所要更大重量的比赛，结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)，则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是（）

A . 0.784 B . 0.84 C . 0.904 D . 0.936

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5. 已知直线 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ，则圆C上到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 的点共有（）

A . 1 B . 2个 C . 3 D . 4

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6. 原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（）

A . 第一种方案更划算 B . 第二种方案更划算 C . 两种方案一样 D . 无法确定

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7. 如图，在半径为2的扇形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是弧 $\text{[math]}$ 上的一个三等分点， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 4 D . $\text{[math]}$

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8. 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的所有零点的和为（）

A . 4 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 该校学生数学竞赛成绩落在 $\text{[math]}$ 内的考生人数为24 C . 该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80 D . 估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在 $\text{[math]}$ 内

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10. 已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上为增函数 B . 直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图像的一条对称轴 C . 函数 $\text{[math]}$ 的图像可由函数 $\text{[math]}$ 的图像向右平移 $\text{[math]}$ 个单位得到 D . 函数 $\text{[math]}$ 的图像关于点 $\text{[math]}$ 对称

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12. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ ，中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 若点P在平面ABCD内，且 $\text{[math]}$ 平面GEF，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为 $\text{[math]}$ D . 若点Q在平面ABCD内，且 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为 $\text{[math]}$

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13. 若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为．

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14. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为.

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15. 已知 $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点，P是双曲线C的右支上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心，且 $\text{[math]}$ ，则C的离心率为.

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16. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高，已知听到的声强m与标准声调 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 约为 $\text{[math]}$ ，单位： $\text{[math]}$ 之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即 $\text{[math]}$ ，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊 $\text{[math]}$ 泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式 $\text{[math]}$ ，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为米

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17. 在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在 $\text{[math]}$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 $\text{[math]}$ 的面积为S，已知_________.

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 线段 $\text{[math]}$ 上的动点.

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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20. 某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G手机购买意向调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有2人，男员工有10人.

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；

	属于“追光族”	属于“观望者”	合计
女员工
男员工
合计			28

（2）在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有 $\text{[math]}$ 人，女员工有 $\text{[math]}$ 人，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望.

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为 $\text{[math]}$ 的菱形.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ 的中点在线段 $\text{[math]}$ （不含端点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ）上，求 $\text{[math]}$ 面积 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，设曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）证明：对定义域内任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；

（3）当 $\text{[math]}$ 时，关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个不等的实数根 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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湖南省五市十校2020-2021学年高三上学期数学第二次大联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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一、单选题

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