江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则由实数 $\text{[math]}$ 的所有可能的取值组成的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）条件

A . 充分不必要 B . 必要不充分 C . 充要 D . 既不充分也不必要

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3. 函数 $\text{[math]}$ 的单调减区间是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 $\text{[math]}$ 是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以 $\text{[math]}$ 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）

A . 8 B . 16 C . 24 D . 28

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5. 设 $\text{[math]}$ 是等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -512 B . -8 C . -2 D . -1

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6. 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知角 $\text{[math]}$ 的终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的函数，其导函数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 对于任意向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列命题正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 设正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为4 B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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11. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 $\text{[math]}$ 近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . 对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ D . 函数 $\text{[math]}$ 的最小值为-3

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12. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为4，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在四边形 $\text{[math]}$ 内，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 点 $\text{[math]}$ 的轨迹的长度为 $\text{[math]}$ B . 线段 $\text{[math]}$ 的轨迹与平面 $\text{[math]}$ 的交线为圆弧 C . $\text{[math]}$ 长度的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 长度的最大值为 $\text{[math]}$

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13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱 $\text{[math]}$ 是一个“堑堵”，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则这个“堑堵”的外接球的表面积为.

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15. 已知圆内接四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 x = 2 对称，则 a+b = ；函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 .

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17. 在① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列 $\text{[math]}$ 满足________.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，以及使得 $\text{[math]}$ 取得最大值时 $\text{[math]}$ 的值.

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18. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求角 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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19. 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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20. 如图所示的某种容器的体积为 $\text{[math]}$ ，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为 $\text{[math]}$ ，圆柱的高为 $\text{[math]}$ .已知顶部半球面的造价为 $\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ ，圆柱的侧面造价为 $\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ ，圆柱底面的造价为 $\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ .

（1）将圆柱的高 $\text{[math]}$ 表示为底面半径 $\text{[math]}$ 的函数，并求出定义域；

（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径 $\text{[math]}$ 为多少？

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；

（2）对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数．

（1）求 $\text{[math]}$ 的最值；

（2）设函数 $\text{[math]}$ 有且只有2个不同的零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

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