解：以

D

为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，

因为 $A B = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，所以 $B D = 1$ ，

所以 $D (0 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C_{1} (\frac{\sqrt{3}}{3} ， 0 ， 2)$ ， $E (- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0 ， 1)$ ，

所以 $\vec{B C_{1}} = (\frac{\sqrt{3}}{3} ， - 1 ， 2)$ ， $\vec{D B} = (0 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{D E} = (- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0 ， 1)$ ，

设平面 $B D E$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (a ， b ， c)$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{D B} \cdot \overset{⇀}{n} = 0 \\ \overset{⇀}{D E} \cdot \overset{⇀}{n} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} b = 0 \\ - \frac{\sqrt{3}}{3} a + c = 0 \end{array}$ ，

取 $a = \sqrt{3}$ ，则 $c = 1$ ，

所以 $\vec{n} = (\sqrt{3} ， 0 ， 1)$ ，

所以 $\cos < \vec{n} ， \vec{B C_{1}} > = \frac{\vec{n} \cdot \vec{B C_{1}}}{\vec{| n} | \vec{| B C_{1}} |} = \frac{1 + 2}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{16}{3}}} = \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ，

直线 $C_{1} B$ 与平面 $B D E$ 所成角为 $θ$ ，则 $θ$ 与 $< \vec{n} ， \vec{B C_{1}} >$ 或它的补角互余，

所以 $\sin θ = | \cos < \vec{n} ， \vec{B C_{1}} > | = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{B C_{1}} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{B C_{1}} |} = \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ .

江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷