辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . 1 B . -1 C . $\text{[math]}$ D . -i

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2. 设向量 $\text{[math]}$ 是空间的一个基底，则—定可以与向量 $\text{[math]}$ 构成空间的另一个基底的向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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3. 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的位置关系是（）

A . 外离 B . 外切 C . 相交 D . 内切

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4. 空间 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点共面，但任意三点不共线，若 $\text{[math]}$ 为该平面外一点且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知直线 $\text{[math]}$ 和以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为端点的线段相交，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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6. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设 $\text{[math]}$ ，过定点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 和过定点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . 4 B . 10 C . 5 D . $\text{[math]}$

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9. 已知方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）表示双曲线，则此时（）

A . 双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ B . 双曲线的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 双曲线的一个焦点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0） D . 双曲线的焦点到渐近线的距离为1

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10. 设几何体 $\text{[math]}$ 是棱长为a的正方体， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 下列说法错误的是（）

A . “ $\text{[math]}$ ”是“直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 互相垂直”的充要条件 B . 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的所有直线的方程为 $\text{[math]}$ D . 经过点 $\text{[math]}$ 且在 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴上截距都相等的直线方程为 $\text{[math]}$

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12. （多选）已知圆 $\text{[math]}$ 上到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于1的点至少有2个，则实数a的值可以为（）

A . -5 B . -4 C . 0 D . 2

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13. 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点为 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的关系式为.

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14. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是四面体 $\text{[math]}$ 的校 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ (用 $\text{[math]}$ 表示)

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15. 已知点F是双曲线 $\text{[math]}$ ＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是．

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16. 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 没有公共点，则实数 $\text{[math]}$ 所的取值范围是.

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17. $\text{[math]}$ ，i为虚数单位，m为实数．

（1）当 $\text{[math]}$ 为纯虚数时，求m的值；

（2）当复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围．

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18. 已知平面内两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 平行的直线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）一束光线从 $\text{[math]}$ 点射向（1）中的直线 $\text{[math]}$ ，若反射光线过点 $\text{[math]}$ ，求反射光线所在的直线方程.

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19. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面ABC， $\text{[math]}$ 点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ Ⅰ $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ 平面BDE；

$\text{[math]}$ Ⅱ $\text{[math]}$ 求直线MN到平面BDE的距离；

$\text{[math]}$ Ⅲ $\text{[math]}$ 求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．

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20. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线有相同的焦距， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆的上、下两个焦点，已知 $\text{[math]}$ 为椭圆上一点，且满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为9.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）点 $\text{[math]}$ 为椭圆的上顶点，点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 右支上任意一点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.

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21. 如图1，在直角梯形ABCD中， AD∥BC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将△ABD沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到几何体P﹣BCD，如图2所示，且平面PBD⊥平面BCD，

（1）证明：PB⊥平面PCD；

（2）若AD=2，当PC和平面PBD所成角的正切值为 $\text{[math]}$ 时，试判断线段BD上是否存在点E，使二面角D﹣PC﹣E平面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.

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22. 已知 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，且圆心在y轴上.

（1）求 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）已知动点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 引 $\text{[math]}$ 的两条切线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，切点分别为 $\text{[math]}$ .
①记四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

②证明直线 $\text{[math]}$ 恒过定点.

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辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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