湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期数学10月联考试卷

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分表示的集合是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 从 $\text{[math]}$ 年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语 $\text{[math]}$ 门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，各等级人数所占比例依次为： $\text{[math]}$ 等级 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等级 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等级 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等级 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等级 $\text{[math]}$ ．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取 $\text{[math]}$ 人作为样本，则该样本中获得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 等级的学生人数为（）

A . 55 B . 80 C . 90 D . 110

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3. 已知 $\text{[math]}$ ，命题“ $\text{[math]}$ ”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（）

A . 此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 B . 此人第六天只走了5里路 C . 此人第二天走的路程比全程的 $\text{[math]}$ 还多1.5里 D . 此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

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5. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数）为偶函数，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交点的横坐标构成一个公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，要得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，只需将 $\text{[math]}$ 的图象（）

A . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位 B . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位 C . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位 D . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位

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7. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为 $\text{[math]}$ ×1000＋ $\text{[math]}$ ×1000×2＝ $\text{[math]}$ ×1000，2小时后，细胞总数约为 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1000＋ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1000×2＝ $\text{[math]}$ ×1000，问当细胞总数超过10¹⁰个时，所需时间至少为（）(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)

A . 38小时 B . 39小时 C . 40小时 D . 41小时

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8. 若 $\text{[math]}$ ，设函数 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，点P在正方体 $\text{[math]}$ 的面对角线 $\text{[math]}$ 上运动，则下列四个结论正确的有（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积不变 B . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角大小不变 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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10. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左右两个顶点分别是A₁ ， A₂ ，左右两个焦点分别是F₁ ， F₂ ， P是双曲线上异于A₁ ， A₂的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（）

A . $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积等于定值 $\text{[math]}$ C . 使 $\text{[math]}$ 为等腰三角形的点 $\text{[math]}$ 有且仅有4个 D . 焦点到渐近线的距离等于b

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11. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列判断正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ 有两解 B . 若 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ 有两解 C . $\text{[math]}$ 为等边三角形时周长最大 D . $\text{[math]}$ 为等边三角形时面积最小

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有唯一零点，则以下四个命题正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与直线 $\text{[math]}$ 平行 C . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ D . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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13. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为.

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14. 函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，则实数 $\text{[math]}$ .

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15. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为角 $\text{[math]}$ 的对边，若函数 $\text{[math]}$ 有极值点，则 $\text{[math]}$ 的范围是．

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16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：当 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为正整数， $\text{[math]}$ 是既约真分数)时 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 上的无理数时 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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17. 已知函数 $\text{[math]}$ （k为常数， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）．

（1）在下列条件中选择一个______使数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，说明理由；
①数列 $\text{[math]}$ 是首项为2，公比为2的等比数列；

②数列 $\text{[math]}$ 是首项为4，公差为2的等差数列；

③数列 $\text{[math]}$ 是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．

（2）在（1）的条件下，当 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .

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18. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，最小正周期为 $\text{[math]}$ ，且最小值为－1.

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式.

（2）若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的取值范围是 $\text{[math]}$ ，求m的取值范围.

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19. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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20. 在平面直角坐标系中，椭圆C： $\text{[math]}$ (a>b>0)过点 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点K(2，0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x＝ $\text{[math]}$ 的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A₁ ， B₁ ，试问直线AB₁与A₁B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

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21. 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，

课程

初等代数

初等几何

初等数论

微积分初步

合格的概率

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；

（2）记 $\text{[math]}$ 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列（只需列式无需计算）及期望 $\text{[math]}$ .

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的切线方程；

（2）求证：若 $\text{[math]}$ 有极值，则极大值必大于0.

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湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期数学10月联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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课程	初等代数	初等几何	初等数论	微积分初步
合格的概率	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

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