2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅲ)

修改时间：2021-05-20 浏览次数：866 类型：高考真卷编辑

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素的个数为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 6

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2. 复数 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $\text{[math]}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $\text{[math]}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $\text{[math]}$ 约为（）（ln19≈3）

A . 60 B . 63 C . 66 D . 69

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5. 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y²=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A . （ $\text{[math]}$ ，0） B . （ $\text{[math]}$ ，0） C . （1，0） D . （2，0）

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6. 已知向量a，b满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在△ABC中，cosC= $\text{[math]}$ ，AC=4，BC=3，则cosB=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A . 6+4 $\text{[math]}$ B . 4+4 $\text{[math]}$ C . 6+2 $\text{[math]}$ D . 4+2 $\text{[math]}$

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9. 已知2tanθ–tan(θ+ $\text{[math]}$ )=7，则tanθ=（）

A . –2 B . –1 C . 1 D . 2

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10. 若直线l与曲线y= $\text{[math]}$ 和x²+y²= $\text{[math]}$ 都相切，则l的方程为（）

A . y=2x+1 B . y=2x+ $\text{[math]}$ C . y= $\text{[math]}$ x+1 D . y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$

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11. 设双曲线C： $\text{[math]}$ （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 8

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12. 已知5⁵<8⁴ ， 13⁴<8⁵ ．设a=log₅3，b=log₈5，c=log₁₃8，则（）

A . a<b<c B . b<a<c C . b<c<a D . c<a<b

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=3x+2y的最大值为．

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14. $\text{[math]}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）．

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15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．

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16. 关于函数f（x）= $\text{[math]}$ 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x= $\text{[math]}$ 对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是．

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三、解答题

17. 设数列{a_n}满足a₁=3， $\text{[math]}$ ．

（1）计算a₂ ， a₃ ，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n ．

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18. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级	[0，200]	(200，400]	(400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

附： $\text{[math]}$ ，

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

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19. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明：点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，A，B分别为C的左、右顶点．

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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21. 设函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点( $\text{[math]}$ ，f( $\text{[math]}$ ))处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若 $\text{[math]}$ 有一个绝对值不大于1的零点，证明： $\text{[math]}$ 所有零点的绝对值都不大于1．

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