2017年黑龙江省佳木斯六中高考数学三模试卷（理科）

修改时间：2024-07-31 浏览次数：533 类型：高考模拟编辑

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一、选择题

1. 已知集合M={x|y=ln（2﹣x）}，N={x|x²﹣3x﹣4≤0}，则M∩N=（）

A . [﹣1，2） B . [﹣1，2] C . [﹣4，1] D . [﹣1，4]

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1，| $\text{[math]}$ |=2，| $\text{[math]}$ |=3，则| $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ |=（）

A . $\text{[math]}$ B . 6 C . $\text{[math]}$ D . 5

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3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）

A . y=lnx B . y=x² C . y=cosx D . y=2^﹣|x|

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4. 已知x，y满足： $\text{[math]}$ ，若目标函数z=ax+y取最大值时的最优解有无数多个，则实数a的值是．

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5. 椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（　　）

A . 0 B . 9 C . 18 D . 54

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数f（x）=2f（2﹣x）﹣x²+5x﹣5，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）

A . y=x B . y=﹣2x+3 C . y=﹣3x+4 D . y=x﹣2

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9. 已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则t的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC， $\text{[math]}$ ，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为 $\text{[math]}$ ，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（）

A . 2 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）=（x﹣1）² ，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若 $\text{[math]}$ ，则实数m的取值范围是（）

A . （﹣∞，1] B . $\text{[math]}$ C . [1，+∞） D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=．

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14. 函数y= $\text{[math]}$ sin2x﹣cos2x的图象可由函数 $\text{[math]}$ 的图象至少向右平移个单位长度得到．

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15. 已知数列{a_n}满足 $\text{[math]}$ ，则{a_n}的前50项的和为．

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16. 已知圆C：x²+y²=25，过点M（﹣2，3）作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点N的轨迹方程为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足 $\text{[math]}$ ，且a₁=3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证： $\text{[math]}$ ．

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18. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．

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19. 为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占 $\text{[math]}$ ，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：
分数大于等于120分
分数不足120分
合计
周做题时间不少于15小时
$\text{[math]}$
4
19
周做题时间不足15小时
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
合计
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
45
（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（Ⅱ）（ i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ ii）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．
附： $\text{[math]}$
P（K²≥k₀）
0.050
0.010
0.001
k₀
3.841
6.635
10.828

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A₁、A₂分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，直线A₁S交椭圆C于点M，直线A₂S交椭圆于点N，设S₁、S₂分别为△A₁SA₂、△MSN的面积，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

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21. 已知f（x）=e^2x+ln（x+a）．

（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f（x）≥（x+1）²+x．

（2）若存在x₀∈[0，+∞），使得 $\text{[math]}$ 成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C₁：ρ=1， $\text{[math]}$ （t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁上的点到曲线C₂距离的最小值；
（Ⅱ）若把C₁上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的 $\text{[math]}$ 倍，得到曲线 $\text{[math]}$ ．设P（﹣1，1），曲线C₂与 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

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	分数大于等于120分	分数不足120分	合计
周做题时间不少于15小时	$\text{[math]}$	4	19
周做题时间不足15小时	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
合计	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	45

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

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