江苏省扬州市2018-2019学年高三上学期数学期中调研考试试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：325 类型：期中考试编辑

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一、填空题

1. 已知i为虚数单位，若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则复数z＝．

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2. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为．

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3. 已知x ， y $\text{[math]}$ R，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则实数a的值为．

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ 为偶函数，且x＞0时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝．

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5. 已知向量 $\text{[math]}$ (1，a)， $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )，若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，则实数a＝．

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6. 设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a ， b ， c ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，cosB＝ $\text{[math]}$ ，那么角A的大小为．

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7. 设实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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8. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，若抛物线 $\text{[math]}$ 上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为．

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9. 已知条件p：x＞a ，条件q： $\text{[math]}$ ．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．

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10. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为．

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11. 若函数 $\text{[math]}$ (A＞0， $\text{[math]}$ ＞0， $\text{[math]}$ )的部分图像如图所示，则函数 $\text{[math]}$ 在[ $\text{[math]}$ ，0]上的单调增区间为．

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12. 在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ，AC＝ $\text{[math]}$ ，tanC＝2，则 $\text{[math]}$ ＝．

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13. 已知正实数a ， b满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （e为自然对数的底数，e≈2.718）．对于任意的 $\text{[math]}$ (0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，则整数a的取值集合是．

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二、解答题

15. 在△ABC中，已知 $\text{[math]}$ ，设∠BAC＝ $\text{[math]}$ ．

（1）求tan $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ (0， $\text{[math]}$ )，求cos( $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ )的值．

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16. 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ (0，2)恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当a＝1时，解不等式 $\text{[math]}$ ．

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17. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 $\text{[math]}$ 与圆O： $\text{[math]}$ 相切．

（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程；

（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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18. 江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为 $\text{[math]}$ km ， $\text{[math]}$ km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为 $\text{[math]}$ km ．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ (0， $\text{[math]}$ )），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）．

（1）求南京园到柏油路的最短距离 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）求y的最小值及此时tan $\text{[math]}$ 的值．

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19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\text{[math]}$ 的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）假设直线l： $\text{[math]}$ 与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且 $\text{[math]}$ ，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求△OAB的面积S的范围．

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 在点P(1， $\text{[math]}$ )处的切线方程；

（2）若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；

（3）若 $\text{[math]}$ 存在两个正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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21. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 在矩阵 $\text{[math]}$ 对应的变换下得到的直线过点P（3，2），求实数 $\text{[math]}$ 的值.

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22. 假定某人在规定区域投篮命中的概率为 $\text{[math]}$ ，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.

（1）求连续命中2次的概率；

（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ .

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23. 如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=AA₁=A₁C=2，平面ACC₁A₁⊥平面ABC．现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为 $\text{[math]}$ 轴，直线AC为 $\text{[math]}$ 轴，直线DA₁为 $\text{[math]}$ 轴建立空间直角坐标系，解决以下问题：

（1）求异面直线AB与A₁C所成角的余弦值；

（2）求直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值.

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24. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

（1）求证: $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

（2）求证: $\text{[math]}$ .

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江苏省扬州市2018-2019学年高三上学期数学期中调研考试试卷

一、填空题

二、解答题

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