如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM&#039;与NN&#039;，在DC与AB上的垂足分别...

题型：综合题题类：真题难易度：普通

广西玉林市2018年中考数学试卷

如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．

（1）、求证：四边形EFNM是矩形；

（2）、已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．

举一反三

在直角坐标系中，点A是抛物线y=x²在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．

如图

已知BD平分∠ABF，且交AE于点D．

如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：

①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．

【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……

（1）【问题提出】如图①， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，说明： $\text{[math]}$ ．

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D，利用“三角形相似”．

小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，利用“等面积法”．

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成说明；

（2）【理解应用】填空：如图②， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，则 $\text{[math]}$ 长度为________；

（3）【深度思考】如图③，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠点C恰好落在边 $\text{[math]}$ 上的E点处．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为_______；

（4）【拓展升华】如图④， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于E，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长为_______．

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