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题型：解答题题类：常考题难易度：困难

北京市西城区2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ .

（1）、求证： $\text{[math]}$ ；

（2）、若直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，试确定点 $\text{[math]}$ 的位置，并证明你的结论；

（3）、设点 $\text{[math]}$ 在正方体的上底面 $\text{[math]}$ 上运动，求总能使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直的点 $\text{[math]}$ 所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）

举一反三

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；

（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2所示五棱锥P﹣ABFED，且AP= $\text{[math]}$ ，

如图所示，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=CC₁ ， M、N分别为BB₁、A₁C₁的中点．

（Ⅰ）求证：CB₁⊥平面ABC₁；

（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC₁ ．

如图，在直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、F、G分别是棱A₁B₁、AB、A₁D₁的中点．

（Ⅰ）求证：GE⊥平面FCC₁；

（Ⅱ）求二面角B﹣FC₁﹣C的余弦值．

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.

如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，∠DAB= $\text{[math]}$ ， AADP为等3边三角形。

（I）求证：AD⊥PB；

（II）若AB=2，BP= $\text{[math]}$ ，求直线PB与平面ABCD所成的角.

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