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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省深圳市南山区华侨城中学2024届高三下学期一模适应性考试数学试题

对于给定的正整数n，记集合 $\text{[math]}$ ，其中元素 $\text{[math]}$ 称为一个n维向量．特别地， $\text{[math]}$ 称为零向量．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义加法和数乘： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．对一组向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），若存在一组不全为零的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．

（1）、对 $\text{[math]}$ ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．

① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（2）、已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 线性无关，判断向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．

（3）、已知 $\text{[math]}$ 个向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 线性相关，但其中任意 $\text{[math]}$ 个都线性无关，证明下列结论：

①如果存在等式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则这些系数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 或者全为零，或者全不为零；

②如果两个等式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）同时成立，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

举一反三

下列说法正确的是( )

为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为t₁和t₂ ，已知两个人在试验中发现对变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，那么下列说法正确的是（　　）

在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）

下列说法错误的是（）

假设关于某种设备的使用年限 $\text{[math]}$ (年)与所支出的维修费用 $\text{[math]}$ (万元)有如下统计：

$\text{[math]}$	2	3	4	5	6
$\text{[math]}$	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线 $\text{[math]}$ ，其相关指数 $\text{[math]}$ ，给出下列结论，其中正确的个数是（）

①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个

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