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题型：解答题题类：难易度：普通

上海市静安区2024-2025学年高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试题

如图的封闭图形的边缘由抛物线 $\text{[math]}$ 和垂直于拋物线对称轴的线段 $\text{[math]}$ 组成.已知 $\text{[math]}$ ，拋物线的顶点到线段 $\text{[math]}$ 所在直线的距离为 $\text{[math]}$ .

（1）、请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；

（2）、在该封闭图形上截取一个矩形 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 抛物线 $\text{[math]}$ 上.求以矩形 $\text{[math]}$ 为侧面， $\text{[math]}$ 为母线的圆柱的体积最大值；

（3）、求证：抛物线 $\text{[math]}$ 的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.

举一反三

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．

抛物线y ²=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x={#blank#}1{#/blank#}

已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|= $\text{[math]}$ p，求AB所在的直线方程．

已知点F（1，0），点A是直线l₁：x=﹣1上的动点，过A作直线l₂ ， l₁⊥l₂ ，线段AF的垂直平分线与l₂交于点P．

（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若点M，N是直线l₁上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x²+y²=1，直线PF的斜率为k，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，若圆x²+y²=a²被直线x﹣y﹣ $\text{[math]}$ =0截得的弦长为2

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F的距离的最小值为2．

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