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题型：解答题题类：难易度：困难

浙江省宁波市宁海县2022年自主招生考试数学试题

在平面上，若点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的"妙点".

（1）、①若点 $\text{[math]}$ 是边长为4的等边 $\text{[math]}$ 内部一个"妙点"，则 $\text{[math]}$ ；

②在平面上，等边 $\text{[math]}$ 共有个"妙点"；

（2）、在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个"妙点"，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出所有满足题意的 $\text{[math]}$ 的度数并画出对应的图形.

举一反三

【探究证明】

已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6（如图所示），将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应．若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是{#blank#}1{#/blank#}．

如图，在△ABC中，AB=AC=5，AB边上的高CD=4，点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交边AC或边BC于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

图 1、图 2、图 3 均是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1 ，其顶点称为格点， $\text{[math]}$ 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

如图，在方格纸中小正方形的边长为1， $\text{[math]}$ 的三个顶点都在小正方形的格点上， $\text{[math]}$ 的面积是{#blank#}1{#/blank#}，点A到BC边的距离为{#blank#}2{#/blank#}．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转至 $\text{[math]}$ 的位置，点 $\text{[math]}$ 恰好落在BC的中点处，则 $\text{[math]}$ 的长为{#blank#}1{#/blank#}．

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