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题型：解答题题类：难易度：普通

广东省佛山市南海区2025届高三摸底考试数学试题

已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，右焦点到双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线的距离为1，两动点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ．

（1）、证明：直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 为定值；

（2）、 $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．

举一反三

（在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：x²+y²=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．

已知F₁ ， F₂ ， A分别为椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左右焦点及上顶点△AF₁F₂的面积为4 $\text{[math]}$ 且椭圆的离心率等于 $\text{[math]}$ ，过点M（0，4）的直线l与椭圆相交于不同的两点P、Q，点N在线段PQ上．

已知圆A的半径为2，B为平面上一点，|AB|=a(a<2)，P是圆上动点，线段PB的垂直平分线l和直线PA相交于点Q．

（Ⅰ）以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求Q点的轨迹方程；

（Ⅱ)设（Ⅰ）中Q点轨迹与直线 $\text{[math]}$ x-2y-1=0相交于M，N两点，求三角形OMN的面积的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，椭圆： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，y轴于椭圆相交于A、B两点， $\text{[math]}$ ，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．

某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4，O为AB的中点，椭圆的焦点P在对称轴OD上，M、N在椭圆上，MN平行AB交OD与G ，且G在P的右侧，△MNP为灯光区，用于美化环境.

已知椭圆T： $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，直线l： $\text{[math]}$ 与椭圆T相切．

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