- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：普通

广西南宁市江南区金凯初级中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题

综合与实践

【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线 $\text{[math]}$ ，在直角三角板 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

【操作发现】（1）如图1所示，将直角三角板 $\text{[math]}$ 顶点A放在直线 $\text{[math]}$ 上，设边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，发现 $\text{[math]}$ ．请说明理由．

【深入探究】（2）如图2所示，将图1中三角板 $\text{[math]}$ 的直角顶点 $\text{[math]}$ 放在平行线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间，两直角边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系并说明理由．以下是小刚和小红两位同学的解题思路：

小刚：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题：

小红：连接 $\text{[math]}$ ，再利用平行线性质与三角形内角和等于 $\text{[math]}$ 的知识相结合，就能解决问题．

请你帮助其中一位同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决．

【拓展运用】（3）受小刚和小红的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对顶角的角平分线，它们相交于点 $\text{[math]}$ ，如图3所示，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．

举一反三

如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF 与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°.

如图，已知O为直线AB上一点，射线OD和OE分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，图中哪些角互为余角，请说明理由.

下列四个图形中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是对顶角的是（）．

如图，已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°．

【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，可根据______证明 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （即点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点）．

【类比解答】如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，通过上述构造全等的办法，可求得 $\text{[math]}$ ______．

【拓展延伸】如图3， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，试探究 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E．

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