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题型：解答题题类：难易度：困难

湖南省长沙市长雅中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题

（1）、在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”

① $\text{[math]}$ （） ② $\text{[math]}$ （） ③ $\text{[math]}$ （）

（2）、若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于x的“H函数” $\text{[math]}$ 的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线 $\text{[math]}$ 的右侧，求 $\text{[math]}$ 的值或取值范围；

（3）、若关于x的“H函数” $\text{[math]}$ （a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC过原点O，且A（0，2）、C（6，0），∠AOC的平分线交AB于点D．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）如图，点P从点O出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

①当t为何值时，△OPQ的面积等于1；
②当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-t）²+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

如图，直线l：y=x﹣ $\text{[math]}$ 与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于A、C两点，抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C．

如图，抛物线y=ax²+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）

如图，抛物线y=﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c与直线y= $\text{[math]}$ x+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，交x轴正半轴于点B．

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．

如图，抛物线C₁与x轴交于B，C两点，与y轴交于点E，抛物线C₂与x轴交于O，D两点，OB＝CD，F是抛物线C的顶点．请仅用无刻度的直尺，在所给图中按如下要求作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作抛物线C₂的顶点；

（2）在图2中作点E关于抛物线C₁对称轴的对称点．

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