- 二一组卷

题型：综合题题类：难易度：困难

【全国通用】名师导航中考数学一轮复习学案6.1图形的轴对称、平移与旋转

1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A ， B ， C ，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．

（1）、下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）

当 $\text{[math]}$ 的三个内角均小于 $\text{[math]}$ 时，

如图1，将 $\text{[math]}$ 绕，点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

由 $\text{[math]}$ ，可知 $\text{[math]}$ 为 ① 三角形，故 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，

由 ② 可知，当B ， P ， $\text{[math]}$ ， A在同一条直线上时， $\text{[math]}$ 取最小值，如图2，最小值为 $\text{[math]}$ ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 $\text{[math]}$ ③ ；

已知当 $\text{[math]}$ 有一个内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 $\text{[math]}$ ，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．

（2）、如图4，在 $\text{[math]}$ 中，三个内角均小于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，已知点P为 $\text{[math]}$ 的“费马点”，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）、如图5，设村庄A ， B ， C的连线构成一个三角形，且已知 $\text{[math]}$ ．现欲建一中转站P沿直线向A ， B ， C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A ， B ， C的铺设成本分别为a元/ $\text{[math]}$ ， a元/ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 元/ $\text{[math]}$ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．（结果用含a的式子表示）

举一反三

如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为{#blank#}1{#/blank#} cm．

在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，在AB的延长线上截取BE，使BE＝CD，连接DE交BC于点F．

如图，在O中， $\text{[math]}$ ，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．

如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC 的度数为（）

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