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题型：证明题题类：难易度：困难

河北省邢台市英华中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

已知半圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ，以直线 $\text{[math]}$ 为对称轴翻折 $\text{[math]}$ ，将点 $\text{[math]}$ 的对称点记为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交半圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）、如图1，求证： $\text{[math]}$ ．

（2）、如图2，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求阴影部分的面积

（3）、过点 $\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

举一反三

如图，下列条件中，不能判断直线ι₁//ι₂的是（）

如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD，BC边上的中点，将点C折叠至MN上，落在P点的位置上，折痕为BQ，连PQ，则PQ的长为( )

如图，已知点E，F分别在BA，CD的延长线上，连接EF，交AC，BD于G，H点，且∠1=∠2，∠B=∠C．

（1）AC与BD平行吗？为什么？

（2）BE与CF平行吗？为什么？

已知直线y=kx+b与抛物线y=ax²（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

如图，平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象分别与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .若点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点恰好在 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ （）

下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，使PQ∥l．

作法：如图2，

①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；

②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；

③作直线PQ；

所有直线PQ就是所求作的直线．

根据小明设计的尺规作图过程．

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