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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省三校（建文外国语学校、广东碧桂园学校、广州亚加达外国语高级中学）2025届高三上学期8月摸底考试数学试题

十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为 $\text{[math]}$ ， 2表示为 $\text{[math]}$ ， 3表示为 $\text{[math]}$ ， 5表示为 $\text{[math]}$ ，发现若 $\text{[math]}$ 可表示为二进制表达式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

（1）、记 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）、记 $\text{[math]}$ 为整数 $\text{[math]}$ 的二进制表达式中的0的个数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）求 $\text{[math]}$ ；

（ⅱ）求 $\text{[math]}$ （用数字作答）．

举一反三

已知A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）是函数 $\text{[math]}$ 的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x= $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值

（Ⅱ）已知S₁=0，当n≥2时，S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，求S_n；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a_n= $\text{[math]}$ ， T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式 $\text{[math]}$ 成立，求c和m的值．

对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.2]=2，[﹣3.5]=﹣4，设数列{a_n}的通项公式为a_n=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…[log₂（2ⁿ﹣1）]．

已知数列{a_n}前n项和为S_n ，满足S_n=2a_n﹣2n（n∈N^*）．

已知数列{a_n}的前n项和为构成数列{b_n}，数列{b_n}的前n项和构成数列{c_n}．若 $\text{[math]}$ ，则

已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列；

（Ⅱ）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金 $\text{[math]}$ 千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …

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