- 二一组卷

题型：作图题题类：难易度：普通

广西壮族自治区钦州市灵山县烟墩中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

在湖的两岸 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离．某数学兴趣小组采用以下方法进行测量：在湖岸上选一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，测量 $\text{[math]}$ 的长度即为 $\text{[math]}$ 的长度．

（1）、请根据题意，画出测量图案；

（2）、该小组得出结论“ $\text{[math]}$ 的长度就是A，B两点间的距离”，请说明理由．

举一反三

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点F为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点E，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿射线 $\text{[math]}$ 方向，在射线 $\text{[math]}$ 上运动．在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中，连结 $\text{[math]}$ ，并以 $\text{[math]}$ 为边在射线 $\text{[math]}$ 上方，作等边 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的顶 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上（不与 $\text{[math]}$ 重合），顶点 $\text{[math]}$ 任直线 $\text{[math]}$ 上（不与 $\text{[math]}$ 重合）．连接 $\text{[math]}$ ．

【问题提出】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图1，当点E在边 $\text{[math]}$ 上时，猜想 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 数量关系，并加以证明；

（2）再探究一般情形，如图2，当点E在 $\text{[math]}$ 内部时，证明（1）中的结论仍然成立．

【问题拓展】（3）如图3，当点E在 $\text{[math]}$ 外部时， $\text{[math]}$ 于点H，过点E作 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 的延长线于点G， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为{#blank#}1{#/blank#}．

阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

如图①，在等边 $\text{[math]}$ 中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 的平分线上一点，且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

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