- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：困难

湖北省武汉二中广雅中学2023-2024九年级上学期月考数学试题

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的顶 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上（不与 $\text{[math]}$ 重合），顶点 $\text{[math]}$ 任直线 $\text{[math]}$ 上（不与 $\text{[math]}$ 重合）．连接 $\text{[math]}$ ．

（1）、如图1，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，且顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）、如图2，若顶点 $\text{[math]}$ 不是 $\text{[math]}$ 中点，且顶点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时，确定线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）、若 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长是______．

举一反三

如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，如果OA=6，AC=5，OC=4，那么DB的长是（）

如图，△ACE≌△DBF，点A、B、C、D共线，若AC=5，BC=2，则CD的长度等于{#blank#}1{#/blank#}．

在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ 的角平分线交直线BC于点E ，交直线DC于点F ．

先阅读下列材料，再解决问题：我们定义一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

如图， $\text{[math]}$ 分别是梯形 $\text{[math]}$ 的两腰 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，即 $\text{[math]}$ 为梯形 $\text{[math]}$ 的中位线.请同学们思考梯形的中位线与两底有何数量关系与位置关系？并给予证明.

猜想：

已知：

求证：

证明：

【问题呈现】

小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，试探究线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值．

【问题分析】

小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．

【问题解决】

如图②，过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平行线，并交于点 $\text{[math]}$ ，作射线 $\text{[math]}$ ．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：

（1）证明： $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ 的大小为度，线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为________．

【方法应用】

某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④， $\text{[math]}$ 是等腰三角形，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持 $\text{[math]}$ ．钢丝绳 $\text{[math]}$ 长度的最小值为多少米．

如图，△ABC和△DCE分别是边长为4和2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD.求BD的长.

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