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题型：实践探究题题类：难易度：困难

2024年广东省惠州市大亚湾区中考二模数学试题

综合与探究：

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C，抛物线 $\text{[math]}$ 经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．

（1）、求k的值及抛物线的解析式．

（2）、如图1，若点D为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，当 $\text{[math]}$ 时，求D点的坐标；

（3）、如图2，若 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的上一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 和抛物线分别于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 为何值时，线段 $\text{[math]}$ 有最大值，并写出最大值为多少；

②是否存在以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

举一反三

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．

已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，求证：∠BDC＋∠DHF＝180°

证明：∵∠1＝∠ACB(已知)

∴DE∥BC （）

∴∠2＝∠DCF （）

∵∠2＝∠3(已知)

∴∠3＝∠DCF （）

∴CD∥FH （）

∴∠BDC＋∠DHF＝180° （）

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁ ，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂ ，若k₁=k₂ ，且b₁≠b₂ ，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．解答下面的问题：

把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=32°则下列结论正确的有（）

（ 1 ）∠C′EF=32°（2）∠AEC=116°（3）∠BGE=64°（4）∠BFD=116°．

如图，在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形纸片 $\text{[math]}$ 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒 $\text{[math]}$ 四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 $\text{[math]}$ ．

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