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题型：解决问题题类：难易度：困难

2021年小学数学巴蜀中学小升初习题卷

我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解： $\text{[math]}$ （p，q是正整数，且 $\text{[math]}$ 在n的所有这种分解中，如果 p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称| $\text{[math]}$ 是n的最佳分解。并规定： $\text{[math]}$

例如12可以分解成 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 因为 $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ 是 12的最佳分解，所以 $\text{[math]}$

（1）、如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数 m是完全平方数。求证：对任意一个完全平方数m，总有 $\text{[math]}$

（2）、如果一个两位正整数 t， $\text{[math]}$ x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数 t为"吉祥数"，求所有"吉祥数"；

（3）、在（2）所得的"吉祥数"中，求F （t）的最大值.

举一反三

规定m※n=3m－2n，已知χ※(8※4)=40，那么χ={#blank#}1{#/blank#}。

对于正整数n，定义 $\text{[math]}$ ， n<10其中f (n)表示n的首位数字、末位数字的平方和。例如： F(n)=6² = 36，F(123)= f(123)=12+3²= 10。规定F₁(n)= F(n)， F_k+1(m) = F(F_k(n)。

例如： F₁(123) = F(123) = 10，F₂(123) = F(F₁(123))= F(10)=1．

引进一种新运算 $\text{[math]}$ ，其规定如下：

①对任意实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$

②对任意实数a有 $\text{[math]}$ ；则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为多少？

(数的整除)在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如下列两种数。

材料一：一个N位正整数，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“优数”。如：249 的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被2整除，“249”可以被3整除，则249是一个“优数”。

材料二：若一个正整数a是另个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数。如：4=2² ，则4为完全平方数。

对于两个数 a.b. 规定一种新运算， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}。

(定义新运算)两个不等的自然数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，较大的数除以较小的数，余数记为 $\text{[math]}$ 。比如： $\text{[math]}$ 。已知 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ 小于 50 ，求 $\text{[math]}$ 。

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